Равноускоренное прямолинейное движение. Ускорение
п.1. Равноускоренное движение
Если тело начинает двигаться из состояния покоя, оно набирает скорость не мгновенно, а в течение некоторого времени. Аналогично происходит при торможении: тело останавливается не сразу, а теряя скорость постепенно.
Примеры равноускоренного движения:
- скатывание велосипеда с горки, скатывание санок с горки;
- старт и торможение автомобиля, автобуса, трамвая, поезда;
- падение на землю камня, ракеты, метеорита.
Это интересно
Время разгона от 0 до 100 км/ч – одна из основных характеристик современных автомобилей.
| Марка автомобиля | Время разгона, с | |
| Nissan GTR Nismo |  |
2,9 |
| BMW M5 F90 |  |
2,8 |
| Porsche 918 Spyder |  |
2,6 |
п.2. Ускорение
В системе СИ (см. §2 данного справочника) скорость измеряется в метрах в секунду, а время – в секундах. Поэтому:
При описании прямолинейного движения мы переходим от векторов к проекциям на ось ОХ (см. §8 данного справочника).
Знак проекции определяется следующим правилом:
- если направление вектора \(\overrightarrow{a}\) совпадает с направлением оси OX, то \(a_x=a\gt 0\)
- если направление вектора \(\overrightarrow{a}\) противоположно направлению оси OX, то \(a_x=-a\lt 0\)
п.3. Уравнение скорости и график скорости при равноускоренном прямолинейном движении
Для проекции скорости на ось ОХ в произвольный момент времени можем записать: $$ v_x(t)=v_{0x}+a_x t $$ Сравним полученное уравнение с уравнением прямой \(y(x)=kx+b \) (см. §38 справочника по алгебре для 7 класса).
В уравнении скорости роль углового коэффициента \(k\) играет проекция ускорения \(a_x\), а роль свободного члена \(b\) – начальная скорость \(v_{0x}\).
Эта прямая:
- возрастает, если \(a_x\gt 0\)
- убывает, если \(a_x\lt 0\)
- постоянна (параллельна оси \(t\)), если \(a_x=0\)
Пример построения графика скорости
1-й участок пути. Пусть автомобиль начал движение из состояния покоя с ускорением 4 м/с2. Направим ось ОХ в направлении ускорения и получим уравнение скорости: $$ v_{0x}=0,\ \ a_x=4\frac{\text{м}}{c^2},\ \ v_x(t)=0+4t=4t $$ Через 5 с скорость автомобиля станет равной \(v_x(5)=4\cdot 5=20\) м/с.
2-й участок пути. Пусть автомобиль, набрав эту скорость, проехал с ней без ускорения в течение 10 с. На этом участке уравнение скорости: $$ a_{x}=0,\ \ v_x(t)=20\frac{\text{м}}{c},\ \ 5\ c\leq t\lt 15\ c $$ Скорость не меняется, автомобиль движется прямолинейно равномерно.
3-й участок пути. Наконец, на последнем участке пути, автомобиль тормозил с ускорением 5 м/с2 до полной остановки. Тогда уравнение скорости на этом участке: $$ v_{0x}=20\frac{\text{м}}{c},\ \ a_x=5\frac{\text{м}}{c^2},\ \ v_x(t)=20-5t $$ Проекция ускорения при торможении отрицательна. Скорость станет равна 0 через 4 с после начала торможения, автомобиль остановится.
Опишем полностью движение на всех участках: $$ v_x(t)= \begin{cases} 4t,\ \ 0\leq t\lt 5\\ 20,\ \ 5\leq t\lt 15\\ 20-5t,\ \ 15\leq t\leq 19 \end{cases} $$ И построим график:
Участок AB соответствует разгону автомобиля от 0 до 20 м/с, участок BC - равномерному движению со скоростью 20 м/с, участок CD - торможению от 20 м/с до 0.
п.4. Определение пути и перемещения по графику скорости
В §10 данного справочника мы рассматривали неравномерное прямолинейное движение, которое можно разбить на отдельные равномерные участки. Для такого движения путь равен сумме модулей площадей участков, определенных по графику скорости. А перемещение также равно сумме площадей, но уже с учетом знака.
Этот подход можно расширить на любое прямолинейное движение.
Весь пройденный путь равен сумме модулей площадей всех участков: $$ s=|s_1|+|s_2|+...+|s_n| $$ Величина перемещения по оси ОХ равна сумме площадей всех участков с учетом знака: $$ \triangle x=s_1+s_2+...s_n $$ Конечная координата равна: \(x_к=x_0+\triangle x\)
Пример определения пути и перемещения по графику скорости
Для построенного выше графика скорости автомобиля получаем следующие участки:
1) ΔABE, его площадь равна $$ s_1=\frac12 AE\cdot BE=\frac12\cdot 5\cdot 20=50\ (м) $$ 2) прямоугольник EBCF, его площадь равна $$ s_2=EF\cdot BE=10\ cdot 20=200\ (м) $$ 3) ΔCFD, его площадь равна $$ s_2=\frac12 FD\cdot GF=\frac12\cdot 4\cdot20=40\ (м) $$ Весь пройденный путь: $$ s=s_1+s_2+s_3=50+200+40=290\ (м) $$ Скорость автомобиля все время оставалась положительной (направление движения не менялось), поэтому величина перемещения равна пройденному пути: $$ \triangle x=s=290\ (м) $$
п.5. Задачи
Задача 1. За 1 мин автобус увеличил скорость с 28,8 км/ч до 72 км/ч. Найдите его ускорение, постройте график зависимости скорости от времени.
Дано:
\(t=1\ мин=60\ с\)
\(v_0=28,8\ км/ч=8\ м/с\)
\(v=72\ км/ч=20\ м/с\)
__________________
\(a-?\)
Как перевести км/ч в м/с – см. §7 данного справочника.
Направим ось ОХ по направлению движения автобуса. Автобус направления движения не меняет, и проекции ускорения и скорости все время положительны и по величине равны значениям величин: $$ a_x=a,\ \ v_x=v $$ Поэтому ускорение равно: $$ a=\frac{v-v_0}{t} $$ Получаем: $$ a=\frac{20-8}{60}=0,2\ \left(\frac{м}{c^2}\right) $$ Уравнение зависимости скорости от времени: \begin{gather*} v(t)=v_0+at\\ v(t)=8+0,2t \end{gather*} График:
Ответ: 0,2 м/с2
Задача 2. Поезд двигался прямолинейно равномерно со скоростью 18 км/ч, а в процессе торможения – равноускоренно и остановился через 10 с. Найдите модуль ускорения. Постройте график зависимости скорости от ускорения, найдите пройденный поездом путь за все время торможения.
Дано:
\(v_0=18\ км/ч=5\ м/с\)
\(v=0\)
\(t=10\ с\)
__________________
\(a,\ s-?\)
Направим ось ОХ по направлению скорости \(v_0\). Тогда проекция ускорения: $$ a_x=\frac{v-v_0}{t},\ \ a_x=\frac{0-5}{10}=-0,5\ (м/с^2) $$ Проекция при торможении отрицательна.
Величина (модуль) ускорения: $$ a=|a_x|=0,5\ м/c^2 $$ Зависимость скорости от времени: \begin{gather*} v(t)=v_0+a_x t\\ v(t)=5-0,5t \end{gather*} График:
Пройденный путь равен площади треугольника ΔABC: $$ s=\frac12 AC\cdot BC=\frac12\cdot 5\cdot 10=25\ (м) $$ Ответ: 0,5 м/с2; 25 м
Задача 3*. С каким ускорением двигался автомобиль, если его скорость выросла с 36 км/ч до 72 км/ч на пути длиной 600 м? Постройте график зависимости скорости от времени, найдите время движения и путь с помощью графика, проверьте полученное значение пути.
Дано:
\(v_0=36\ км/ч=10\ м/с\)
\(v=72\ км/ч=20\ м/с\)
\(s=600\ м\)
__________________
\(a-?,\ t-?\)
Ускорение равно: \(a=\frac{v-v_0}{t}\). Откуда время равно: \(t=\frac{v-v_0}{a}\)
Средняя скорость на всем пути: \(v_{cp}=\frac{v_0+v}{2}\)
Весь путь: $$ s=v_{cp}t=\frac{v_0+v}{2}\cdot\frac{v-v_0}{a}=\frac{v^2-v_0^2}{2a} $$ Значит, ускорение равно: $$ a=\frac{v^2-v_0^2}{2s} $$ Подставляем: $$ a=\frac{20^2-10^2}{2\cdot 600}=0,25\ \left(\frac{м}{c^2}\right) $$ Уравнение зависимости скорости от времени: \begin{gather*} v(t)=v_0+at\\ v(t)=10+0,25t \end{gather*} График:
Скорость достигает значения \(v=20\ м/с\) в момент времени \(t=40\ с\).
Значит, время движения 40 с.
Путь по графику скорости равен площади четырехугольника ABCD. \begin{gather*} S_{ABCD}=S_{ABE}+S_{AECD}=\frac12 AE\cdot EB+AE\cdot AD=\frac12\cdot 40\cdot 10+40\cdot 10=200+400=600\ (м)\\ s=600\ м \end{gather*} Найденное значение пути совпадает с условием задачи. Все параметры движения найдены верно.
Ответ: 0,25 м/с2; 40 c
