Уравнение движения, графики равномерного прямолинейного движения

п.1. Прямолинейное равномерное движение на координатной прямой

Система отсчета, с помощью которой можно описать прямолинейное движение состоит из:
1) тела отсчета; 2) координатной прямой; 3) часов для отсчета времени.
Пусть телом отсчета будет дом.
В начальный момент времени машина стоит в 20 м справа от дома.

Рассмотрим движение машины со скоростью 10 м/с вправо.
Направим координатную прямую параллельно вектору скорости, вправо.

Прямолинейное равномерное движение на координатной прямой

Составим таблицу перемещений за первые 4 секунды:

t, c 0 1 2 3 4
x, м 20 30 40 50 60

Стартуя с точки x0=20, машина каждую секунду удаляется от дома еще на 10 м.
Пройденный путь за 2 секунды – 10·2=20 м, за 3 секунды – 10·3=30 м, за t секунд s=vt метров. Значит, для произвольного времени t можем записать координату x в виде: \begin{gather*} x=x_0+s=x_0+vt\\ x=20+10t \end{gather*}

Прямолинейное равномерное движение на координатной прямой

Если при тех же начальных условиях и направлении координатной прямой машина будет двигаться влево, получим таблицу:

t, c 0 1 2 3 4
x, м 20 10 0 -10 -20

В этом случае координата x в любой момент времени t имеет вид: \begin{gather*} x=x_0-st=x_0-vt\\ x=20-10t \end{gather*} Если же машина никуда не едет, её скорость v=0, и координата x=x0 в любой момент времени t.

п.2. Уравнение прямолинейного равномерного движения

Основная задача механики – уметь определять положение тела в пространстве в любой момент времени.

Зависимость координаты тела от времени в механике называют уравнением движения.
Если уравнение движения известно, то мы можем решить основную задачу механики.

Назовем проекцией вектора скорости \(\overrightarrow{x}\) на параллельную ему ось координат OX величину \(v_x=\pm|\overrightarrow{v}|=\pm v\).
Знак проекции определяется следующим правилом:
  • если направление вектора \(\overrightarrow{v}\) совпадает с направлением оси OX, то \(v_x=v\gt 0\)
  • если направление вектора \(\overrightarrow{v}\) противоположно направлению оси OX, то \(v_x=-v\lt 0\)
В любой момент времени t координата тела x(t) при прямолинейном равномерном движении описывается уравнением: $$ x(t)=x_0+v_x t $$ где \(x_0\) - координата в начальный момент времени, \(v_x\) - проекция вектора скорости движения.
Проекция перемещения \(\overrightarrow{r}\) на параллельную ему ось координат OX в любой момент времени t определяется формулой: $$ \triangle x=x(t)-x_0 $$ Знак \(\triangle x\) указывает на направление совершенного перемещения:
  • если \(\triangle x\gt 0\), перемещение \(\overrightarrow{r}\) произошло в направлении оси OX;
  • если \(\triangle x\lt 0\), перемещение \(\overrightarrow{r}\) произошло противоположно направлению оси OX.

п.3. Удобная система отсчета для решения задачи о прямолинейном движении

При решении задачи можно выбрать различные тела отсчета и связать с ними различные системы координат. Как правило, некоторая система отсчета является наиболее удобной для решения данной задачи в том смысле, что в ней уравнение движения выглядит и решается проще, чем в других системах.

При решении задач на прямолинейное движение телом отсчета может быть неподвижная поверхность (земля, пол, стол и т.п.), само движущееся тело или другое тело.
При этом системой координат является координатная прямая, параллельная направлению движения (вектору перемещения) тела, уравнение движения которого мы хотим получить.

Прямолинейное движение описывается с помощью координатной прямой, параллельной направлению движения тела.

Проекции скорости и перемещения на координатную прямую могут быть положительными, равными нулю или отрицательными. Величины скорости и перемещения будут равны длинам соответствующих проекций.

п.4. График движения x=x(t)

Сравним полученное уравнение движения \(x(t)=x_0+v_x t\) с уравнением прямой \(y(x)=kx+b\) (см. §38 справочника по алгебре для 7 класса).

В уравнении движения роль углового коэффициента \(k\) играет проекция скорости \(v_x\), а роль свободного члена \(b\) – начальная координата \(x_0\).

В осях \(t\) и \(x\) график \(x(t)=x_0+v_x t\) является прямой.
Эта прямая:
  • возрастает, если \(v_x\gt 0\)
  • убывает, если \(v_x\lt 0\)
  • постоянна (параллельна оси \(t\)), если \(v_x= 0\)
График движения x=x(t) Построим графики зависимости координаты от времени для нашего примера:

x=20+10t - машина движется вправо (в направлении оси OX)
x=20-10t - машина движется влево (в направлении, противоположном оси OX)
x=20 - машина стоит

п.5. Как найти уравнение движения по графику движения?

Как найти уравнение движения по графику движения
Шаг 1. Выбрать на прямой любые две точки \(A(t_1,x_1)\) и \(B(t_2,x_2)\).
Шаг 2. Найти проекцию скорости как отношение: $$ v_x=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=\frac{\triangle x}{\triangle t} $$ Шаг 3. Найти начальную координату по одной из формул: $$ x_0=x_1-v_x t_1\ \text{или}\ x_0=x_2-v_x t_2 $$ Шаг 4. Записать найденное уравнение движения: $$ x(t)=x_0+v_x t $$

п.6. График скорости vx=vx(t)

В осях \(t\) и \(x\) график \(v_x(t)=v_x=const\) является прямой, параллельной оси \(t\).
Эта прямая:
  • расположена над осью \(t\), если \(v_x\gt 0\)
  • расположена под осью \(t\), если \(v_x\lt 0\)
  • совпадает с осью \(t\), если \(v_x=0\)

Для рассмотренного примера:
График скорости v_x=v_x(t)

Внимание!
В отличие от алгебры, в физике масштабы на осях, как правило, разные.
Поэтому обязательно нужно:
1) указывать обозначения и единицы измерения физических величин, которым соответствуют оси графика;
2) подбирать масштабы так, чтобы с графиком было удобно работать.

п.7. Как найти путь и перемещение по графику скорости?

Пусть тело движется прямолинейно равномерно, зависимость его координаты от времени описывается уравнением: $$ x(t)=x_0+v_x t $$ Тогда в некоторый момент времени \(t_1\) координата равна \(x_1=x_0+v_x t_1\).
Несколько позже, в момент времени \(t_2\gt t_1\) координата равна \(x_2=x_0+v_x t_2\).
Если \(v_x\gt 0\), то пройденный за промежуток времени \(\triangle t=t_2-t_1\) путь равен разности координат: $$ s=x_2-x_1=(x_0+v_x t_2)-(x_0+v_x t_1)=x_0-x_0+v_x (t_2-t_1)=v_x \triangle t $$ В общем случае, т.к. \(v_x\) может быть и отрицательным, а путь всегда положительный, в формуле нужно поставить модуль: $$ s=|v_x|\triangle t $$
Изобразим полученное соотношение на графике скорости: Как найти путь и перемещение по графику скорости

На графике скорости путь, пройденный за промежуток времени \(\triangle t=t_2-t_1\) равен площади прямоугольника, длина которого равна \(\triangle t\), а ширина \(\triangle |v_x|\): $$ s=|v_x|\triangle t $$

Проекция скорости \(v_x\) может быть не только положительной, но и отрицательной.
Если учитывать знак, то произведение: $$ \triangle x=v_x \triangle t $$ дает проекцию перемещения на ось OX. Знак этого произведения указывает на направление перемещения.

На графике скорости проекция перемещения на ось OX за промежуток времени \(\triangle t=t_2-t_1\) равна площади \(v_x\triangle t\), с учетом знака: $$ \triangle x=v_x\triangle t $$

Проекция перемещения может быть как положительной, так и отрицательной или равной 0.

п.8. Задачи

Задача 1. Спортсмен бежит по прямолинейному участку дистанции с постоянной скоростью 8 м/с. Примите \(x_0=0\) и запишите уравнение движения.
а) Постройте график движения \(x=x(t)\) и найдите с его помощью, сколько пробежит спортсмен за \(t_1=5\ с\), за \(t_2=10\ с\);
б) постройте график скорости \(v=v(t)\) и найдите с его помощью, какой путь преодолеет спортсмен за промежуток времени \(\triangle t=t_2-t_1\)?

По условию \(x_0=0,\ v_x=8\).
Уравнение движения: \(x=x_0+v_x t=0+8t=8t\)
а) Строим график прямой \(x=8t\) по двум точкам:

t 0 5
x 0 40

Задача 1
По графику находим: \begin{gather*} x_1=x(5)=8\cdot 5=40\ \text{(м)}\\ x_2=x(10)=8\cdot 10=80\ \text{(м)} \end{gather*}
б) Скорость \(v_x=8\) м/с - постоянная величина, её график:
Задача 1
$$ t_1=5\ с,\ \ t_2=10\ с $$ Пройденный путь за промежуток времени \(\triangle t=t_2-t_1\) равен площади заштрихованного прямоугольника: $$ s=v_x \triangle t=8\cdot (10-5)=40\ \text{(м)} $$ Ответ: а) 40 м и 80 м; б) 40 м

Задача 2. Космический корабль движется прямолинейно с постоянной скоростью.
Известно, что через 1 час после старта корабль находился на расстоянии 38 тыс.км от астероида Веста, а через 2 часа после старта – на расстоянии 56 тыс.км.
а) постройте график движения корабля, найдите по графику уравнение движения.
б) на каком расстоянии от астероида находился корабль в начальный момент времени?
в) на каком расстоянии от астероида будет находиться корабль через 4 часа после старта?
г) чему равна скорость корабля в километрах в секунду?

а) Будем откладывать время в часах, а расстояние в тыс.км
Отмечаем точки A(1;38) и B(2;56), проводим через них прямую.
Полученная прямая и есть график движения \(x=x(t)\).
Задача 2
Найдем скорость корабля \(v_x\): $$ v_x=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=\frac{56-38}{2-1}=18\ (\text{тыс.км/ч}) $$ Найдем начальную координату \(x_0\): $$ x_0=x_1-v_x t_1=38-18\cdot v_1=20\ (\text{тыс.км/ч}) $$ Получаем уравнение движения: $$ x(t)=x_0+v_x t,\ \ x(t)=20+18t $$ где \(x\) – в тыс.км, а \(t\) – в часах.

б) В начальный момент времени корабль находился на расстоянии \(x_0=20\) тыс.км от астероида.

в) Через 4 часа после старта корабль будет находиться на расстоянии $$ x(4)=20+18\cdot 4=92\ (\text{тыс.км}) $$
г) Переведем скорость в км/с: $$ 18000\frac{\text{км}}{\text{ч}}=\frac{18000\ \text{км}}{1\ \text{ч}}=\frac{18000\ \text{км}}{3600\ \text{c}}=5\ \text{км/c} $$ Ответ:
а) \(x(t)=20+18t\) (\(x\) в тыс.км, \(t\) в часах); б) 20 тыс.км; в) 92 тыс.км; г) 5 км/с

Рейтинг пользователей

за неделю
  • за неделю
  • один месяц
  • три месяца
    Регистрация
    Войти с помощью
    Необходимо принять пользовательское соглашение
    Войти
    Войти с помощью
    Восстановление пароля
    Пожаловаться
    Задать вопрос