Неравномерное прямолинейное движение. Средняя скорость

п.1. График скорости при неравномерном прямолинейном движении

Прямолинейное и равномерное движение возможно лишь на участке пути.
Любое тело со временем меняет свою скорость, как по величине, так и по направлению.

Для описания неравномерного движения его можно разбить на участки, на которых скорость постоянна, и свести задачу к уже известному нам равномерному прямолинейному движению.

Например, пусть велосипедист добрался из города A в город B за 1 час. Первые полчаса он ехал со скоростью 9 км/ч, а потом проколол шину, и вторые полчаса шел пешком со скоростью 3 км/ч.
Направим ось ОХ также от A к B и получим значения проекций скоростей: $$ v_{x1}=9\ \text{км/ч},\ \ v_{x2}=3\ \text{км/ч} $$ Построим график скорости для этого случая:

п.2. Как найти путь и перемещение по графику скорости?

Мы уже знаем, что путь равен площади прямоугольника, который образуется между отрезком графика скорости и отрезком \(\triangle t\) на оси \(t\) (см. §8 данного справочника).

В таком случае, путь велосипедиста в нашем примере:
\begin{gather*} s=v_{x1}\cdot \triangle t_1+v_{x2}\cdot \triangle t_2\\ s=9\cdot 0,5+3\cdot 0,5=4,5+1,5=6\ \text{(км)} \end{gather*} Сначала велосипедист проехал 4,5 км, а затем прошел 1,5 км.
Общий путь велосипедиста равен 6 км. Расстояние между городами 6 км.

Если принять город A за начало отсчета с \(x_0=0\), то координата велосипедиста в конце пути: $$ x_{к}=x_0+s=0+6=6\ \text{(км)} $$ Перемещение по оси ОХ: \(\triangle x=x_{к}-x_0=6\ \text{(км)}\).

Теперь рассмотрим другую ситуацию. Пусть велосипедист выехал из A в B и двигался со скоростью 9 км/ч в течение получаса. Но, после того как проколол шину, он развернулся и пошел пешком назад в A. Где будет находиться велосипедист через полчаса после разворота?
Снова направим ось ОХ от A к B и получим значения проекций скоростей: $$ v_{x1}=9\ \text{км/ч},\ \ v_{x2}=-3\ \text{км/ч} $$ Построим график скорости для этого случая:

Путь велосипедиста по-прежнему будет равен сумме площадей прямоугольников, которые образует ломаная \(v_x(t)\) с осью \(t\): \begin{gather*} x=v_{x1}\cdot \triangle t_1+|v_{x2}|\cdot\triangle t_2\\ s=9\cdot 0,5+3\cdot 0,5=4,5+1,5=6\ \text{(км)} \end{gather*}
Если мы учтем знак \(v_{x2}\) и уберем модуль, то получим величину перемещения по оси ОХ: \begin{gather*} \triangle x=v_{x1}\cdot \triangle t_1+v_{x2}\cdot \triangle t_2\\ \triangle x=9\cdot 0,5-3\cdot 0,5=4,5-1,5=3\ \text{(км)} \end{gather*} Сначала велосипедист проехал 4,5 км, а затем прошел 1,5 км в обратном направлении.
Конечная координата: $$ x_{к}=x_0+\triangle x=0+3=3\ \text{(км)} $$
Ответ на вопрос задачи найден. Через полчаса после разворота велосипедист будет находиться в точке D в 3 км от города A.

п.3. Средняя скорость и средняя путевая скорость

В нашем примере с велосипедистом, который все время двигался в одну сторону и дошел до города B, получаем: \begin{gather*} |\overrightarrow{v_{cp}}|=\frac{|\overrightarrow{r}|}{t}=\frac{\triangle x}{t}=\frac 61=6\ \text{(км/ч)}\\ v_{cp.п}=\frac st=\frac 61=6\ \text{(км/ч)} \end{gather*} Величина средней скорости равна средней путевой скорости.

А вот для случая, когда велосипедист развернулся и пошел обратно: \begin{gather*} |\overrightarrow{v_{cp}}|=\frac{|\overrightarrow{r}|}{t}=\frac{\triangle x}{t}=\frac 31=3\ \text{(км/ч)}\\ v_{cp.п}=\frac st=\frac 61=6\ \text{(км/ч)} \end{gather*} Величина средней скорости меньше средней путевой скорости.

п.4. Задачи

Задача 1. По графику скоростей найдите среднюю скорость и среднюю путевую скорость движения.

a)

Все движение можно разделить на три участка с постоянной скоростью:
\begin{gather*} \triangle t_1=3-0=3\ c,\ \ v_{x1}=5\ \text{м/с}\\ \triangle t_2=5-3=2\ c,\ \ v_{x2}=1\ \text{м/с}\\ \triangle t_3=7-5=2\ c,\ \ v_{x3}=2\ \text{м/с}\\ \end{gather*} Общий путь: \begin{gather*} s=|v_{x1}|\cdot \triangle t_1+|v_{x2}|\cdot \triangle t_2+|v_{x3}|\cdot \triangle t_3\\ s=5\cdot 3+1\cdot 2+2\cdot 2=21\ \text{(м)} \end{gather*} Все проекции скоростей положительны, тело двигалось в одном направлении, общее перемещение равно общему пути: \(\triangle x=s=21\) (м)
Общее время: \(t=\triangle t_1+\triangle t_2+\triangle t_3=3+2+2=7\) (с)
Величина средней скорости равна средней путевой скорости: $$ |\overrightarrow{v_{cp}}|=v_{cp.п}=\frac st=\frac{21}{7}=3\ \text{(м/с)} $$ Ответ: \(|\overrightarrow{v_{cp}}|=v_{cp.п}=3\ \text{(м/с)}\)

б)

Все движение можно разделить на три участка с постоянной скоростью:
\begin{gather*} \triangle t_1=3-0=3\ c,\ \ v_{x1}=5\ \text{м/с}\\ \triangle t_2=5-3=2\ c,\ \ v_{x2}=-2\ \text{м/с}\\ \triangle t_3=7-5=2\ c,\ \ v_{x3}=1\ \text{м/с}\\ \end{gather*} Общий путь: \begin{gather*} s=|v_{x1}|\cdot \triangle t_1+|v_{x2}|\cdot \triangle t_2+|v_{x3}|\cdot \triangle t_3\\ s=5\cdot 3+2\cdot 2+1\cdot 2=21\ \text{(м)} \end{gather*} Проекции скоростей имеют разные знаки, тело двигалось вперед и назад.
Общее перемещение будет меньше общего пути: \begin{gather*} \triangle x=v_{x1}\cdot \triangle t_1+v_{x2}\cdot \triangle t_2+v_{x3}\cdot \triangle t_3\\ \triangle x=5\cdot 3-2\cdot 2+1\cdot 2=13\ \text{(м)} \end{gather*} Общее время: \(t=\triangle t_1+\triangle t_2+\triangle t_3=3+2+2=7\) (c)
Величина средней скорости: $$ |\overrightarrow{v_{cp}}|=\frac{\triangle x}{t}=\frac{13}{7}\approx 1,86\ \text{(м/с)} $$ Средняя путевая скорость: $$ v_{cp.п}=\frac st=\frac{21}{7}=3\ \text{(м/с)} $$ Ответ: \(|\overrightarrow{v_{cp}}|\approx 1,86\ \text{(м/с)};\ \ v_{cp.п}=3\ \text{(м/с)}\)

Задача 2. Мотоциклист проехал расстояние между двумя пунктами со скоростью 40 км/ч. Потом увеличил скорость до 80 км/ч и проехал расстояние в два раза меньше. Найдите среднюю скорость мотоциклиста за все время движения.

Мотоциклист двигался все время в одном направлении, величина средней скорости равна средней путевой скорости: \(v_{cp}=\frac st\), где \(s\) - весь путь, \(t\) - все время.
Заполним таблицу:

Упростим сумму дробей: $$ t=\frac{d}{20}+\frac{d}{80}=\frac{4d+d}{80}=\frac{5d}{80}=\frac{d}{16} $$ Получаем: $$ v_{cp}=\frac st=\frac{3d}{d/16}=3\cdot 16=48\ \text{(км/ч)} $$
Ответ: 48 км/ч

Задача 3. Автомобиль проехал первую половину пути по шоссе со скоростью 90 км/ч, а вторую половину – по грунтовой дороге со скоростью 30 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля.

Величина средней скорости равна средней путевой скорости:
\(v_{cp}=\frac st\), где \(s\) - весь путь, \(t\) - все время.
Заполним таблицу:

Упростим сумму дробей: $$ t=\frac{s}{180}+\frac{s}{60}=\frac{s+3s}{180}=\frac{4s}{180}=\frac{s}{45} $$ Получаем: $$ v_{cp}=\frac st=\frac{s}{s/45}=45\ \text{(км/ч)} $$
Ответ: 45 км/ч

Задача 4*. Туристы прошли по маршруту со средней скоростью 32 км/ч. Маршрут был разделен на три участка, первый участок преодолевался пешком, второй – на автобусе, третий – на катере. Найдите скорость на каждом участке, если длины этих участков относятся как 1:4:45, а соответствующие интервалы времени как 4:1:20.

Величина средней скорости равна средней путевой скорости:
\(v_{cp}=\frac st\), где \(s\) - весь путь, \(t\) - все время.
Заполним таблицу:

По условию средняя скорость: $$ v_{cp}=\frac st=\frac{50d}{25t}=2\cdot \frac dt=32\Rightarrow \frac dt=16 $$ Получаем: \begin{gather*} v_1=\frac{d}{4t}=\frac{16}{4}=4\ \text{(км/ч)}\\ v_2=\frac{4d}{t}=4\cdot 16=64\ \text{(км/ч)}\\ v_3=\frac{9d}{4t}=\frac{9}{4}\cdot 16=36\ \text{(км/ч)} \end{gather*}
Ответ: 4 км/ч, 64 км/ч и 36 км/ч

Задача 5*. Первую половину маршрута турист проехал на попутном автомобиле в 10 раз быстрее по сравнению с ходьбой пешком, а вторую половину – на попутном возу в 2 раза медленней. Сэкономил ли турист время на всем маршруте по сравнению с ходьбой пешком?

Пусть \(v\) - скорость туриста при ходьбе пешком.
Найдем среднюю путевую скорость \(v_{cp}\) и сравним ее со скоростью \(v\).
Если \(v_{cp}\gt v\), то турист выиграл время.
Заполним таблицу:

Упростим сумму дробей: $$ t=\frac{s}{20v}+\frac sv=\frac sv\left(\frac{1}{20}+1\right)=\frac{21}{20}\cdot \frac sv $$ Средняя скорость: $$ v_{cp}=\frac{s}{\frac{21}{20}\cdot\frac sv}=\frac{20}{21}v\gt v $$Средняя скорость поездки оказалась меньше пешей скорости туриста.
Значит, он не выиграл по времени.
Ответ: нет

п.5. Лабораторная работа №3. Определение средней скорости движения тела

Цель работы
Научиться определять среднюю скорость движения тела по данным измерений на разных участках. Научиться вычислять абсолютные и относительные погрешности при подстановке данных измерений в формулы.

Теоретические сведения
В лабораторной работе изучается движение тела (шарика) по двум участкам (желобам) с различной скоростью.

Длина участков измеряется с помощью мерной ленты с ценой деления \(\triangle=1\) см,
инструментальная погрешность равна: \(d=\frac{\triangle}{2}=0,5\) см
Абсолютная погрешность измерений при работе с мерной лентой равна инструментальной погрешности, поэтому: \(\triangle s_1=\triangle s_2=d=0,5\) см
Погрешность суммы двух длин: \(\triangle(s_1+s_2)= \triangle s_1+\triangle s_2=2d=1\) см

Измерение времени на каждом участке проводится в сериях их 5 измерений по методике, описанной в Лабораторной работе №2 (см. §4 данного справочника).
Погрешность суммы двух измерений: \(\triangle(t_1+t_2)=\triangle t_1+\triangle t_2\)

Относительная погрешность частного равна сумме относительных погрешностей делимого и делителя: $$ \delta_{v_{cp}}=\delta_{s_1+s_2}+\delta_{t_1+t_2} $$ Абсолютная погрешность определения средней скорости: $$ \triangle v_{cp}=v_{cp}\cdot \delta_{v_{cp}} $$

Приборы и материалы
Два желоба (не менее 1 м каждый), шарик, мерная лента, секундомер.

Ход работы
1. Ознакомьтесь с теоретической частью работы, выпишите необходимые формулы.
2. Соберите установку, как показано на рисунке. Установите один желоб под углом, другой – горизонтально, закрепите, поставьте в конце горизонтального участка упор. Подберите длину желобов и наклон так, чтобы движение по каждому участку было не менее 1 с.

3. Измерьте фактическую длину каждого участка движения в готовой установке с помощью мерной ленты.
4. Найдите относительную погрешность суммы двух длин \(\delta_{s_1+s_2}=\frac{\triangle(s_1+s_2)}{s_1+s_2}\)
5. Проведите серии по 5 экспериментов для определения \(t_1\) и \(t_2\) с помощью секундомера.
6. Найдите \(\triangle t_1,\ \triangle t_2, \ \triangle(t_1+t_2),\ \delta_{t_1+t_2}\)
7. По результатам измерений и вычислений найдите \(v_{cp},\ \delta_{v_{cp}}\) и \(\triangle v_{cp}\).
8. Сделайте выводы о проделанной работе.

Результаты измерений и вычислений

1) Измерение длин
Цена деления мерной ленты \(\triangle =1\) см
Инструментальная погрешность мерной ленты \(d=\frac{\triangle}{2}=0,5\) см
Результаты измерений:
\(s_1=112\) cм
\(s_2=208\) cм
Сумма длин участков: \(s_1+s_2=112+208=320\) (см)
Абсолютная погрешность суммы: \(\triangle (s_1+s_2)=\triangle s_1+\triangle s_2=2d=1\) см
Относительная погрешность суммы: $$ \delta_{s_1+s_2}=\frac{\triangle (s_1+s_2)}{s_1+s_2}=\frac{1}{320}=0,3125% $$

2) Измерение времени
Цена деления секундомера \(\triangle =0,2\) с
Инструментальная погрешность секундомера \(d=\frac{\triangle}{2}=0,1\) с

Время движения по наклонному желобу

Найдем среднее время спуска с наклонного желоба: $$ t_1=\frac{1,5+1,6+1,5+1,4+1,4}{5}=\frac{7,4}{5}=1,48\ (c) $$ Принимаем среднее время за истинное значение измеряемой величины.
Найдем абсолютные отклонения каждого измерения от \(t_1\): $$ \triangle_1=|1,5-1,48|=0,02;\ \triangle_2=|1,6-1,48|=1,02\ \text{и т.д.} $$ Среднее абсолютное отклонение: $$ \triangle_{cp}=\frac{0,02+0,12+0,02+0,08+0,08}{5}=\frac{0,32}{5}=0,064\ \text{c} $$ Среднее абсолютное отклонение меньше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ \triangle t_1=max\left\{d;\triangle_{cp}\right\}=max\left\{0,1;0,064\right\}=0,1\ \text{c} $$ Округляем полученное значение времени до десятых. \begin{gather*} t_1=(1,5\pm 0,1)\ \text{c}\\ \delta_{t_1}=\frac{0,1}{1,5}=\frac{1}{15}\approx 6,7\text{%} \end{gather*} Время движения по горизонтальному желобу

Найдем среднее время движения по горизонтали: $$ t_2=\frac{2,3+2,4+2,2+2,2+2,4}{5}=\frac{11,5}{5}=2,3\ (c) $$ Принимаем среднее время за истинное значение измеряемой величины.
Найдем абсолютные отклонения каждого измерения от \(t_2\): $$ \triangle_1=|2,3-2,3|=0;\ \triangle_2=|2,4-2,3|=0,1\ \text{и т.д.} $$ Среднее абсолютное отклонение: $$ \triangle_{cp}=\frac{0+0,1+0,1+0,1+0,1}{5}=\frac{0,4}{5}=0,08\ \text{c} $$ Среднее абсолютное отклонение меньше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ \triangle t_2=max\left\{d;\triangle_{cp}\right\}=max\left\{0,1;0,08\right\}=0,1\ \text{c} $$ Получаем: \begin{gather*} t_2=(2,3\pm 0,1)\ \text{c}\\ \delta_{t_2}=\frac{0,1}{2,3}=\frac{1}{23}\approx 4,4\text{%} \end{gather*}

3) Расчет погрешности суммы интервалов времени
Сумма интервалов времени: $$ t_1+t_2=1,5+2,3=3,8\ \text{(c)} $$ Абсолютная погрешность суммы: $$ \triangle(t_1+t_2)=\triangle t_1+\triangle t_2=0,1+0,1=0,2\ \text{(c)} $$ Относительная погрешность суммы: $$ \delta_{t_1+t_2}=\frac{\triangle (t_1+t_2)}{t_1+t_2}=\frac{0,2}{3,8}=\frac{1}{19}\approx 5,3\text{%} $$

4) Расчет средней скорости $$ v_{cp}=\frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}=\frac{320}{3,8}\approx 84,2\ \left(\frac{\text{см}}{\text{c}}\right) $$ Относительная ошибка частного: $$ \delta_{v_{cp}}=\delta_{s_1+s_2}+\delta_{t_1+t_2}=\frac{1}{320}+\frac{1}{19}\approx 0,003125+0,0526\approx 0,0557\approx 0,056=5,6\text{%} $$ (оставляем две значащие цифры).
Абсолютная ошибка: $$ v_{cp}=v_{cp}\cdot\delta_{v_{cp}}=84,2\cdot 0,056\approx 4,7\ \left(\frac{\text{см}}{\text{c}}\right) $$ Получаем: \begin{gather*} v_{cp}=(84,2\pm 4,7)\ \text{см/с}\\ \delta_{v_{cp}}=5,6\text{%} \end{gather*}

Выводы
На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы.

Измерения длин проводились с помощью мерной ленты. Ошибка измерений равна инструментальной ошибке 0,5 см.
Измерения времени проводились с помощью секундомера. По результатам серий экспериментов ошибка была принята равной инструментальной 0,1 с.
Получена величина средней скорости: \begin{gather*} v_{cp}=(84,2\pm 4,7)\ \text{см/с}\\ \delta_{v_{cp}}=5,6\text{%} \end{gather*}