Вопросы после параграфа страница 150, 151, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Теорема 21.2

Диаметр окружности, делящий хорду, отличную от диаметра, пополам, перпендикулярен этой хорде.

Доказательство

Пусть дана окружность с центром O, диаметр CD и хорда AB, отличная от диаметра, причём диаметр CD делит хорду AB пополам в точке M, т. е. AM = MB.

Проведём радиусы OA и OB. В равнобедренном треугольнике AOB (OA = OB как радиусы) отрезок OM соединяет вершину O с точкой M основания AB, причём AM = MB, т. е. OM — медиана. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и высотой. Следовательно, OM ⊥ AB, т. е. CD ⊥ AB. ◄

Если хорда является диаметром, то утверждение неверно: два диаметра могут пересекаться в центре окружности (и, значит, делить друг друга пополам) под любым углом, не обязательно прямым.

Следствие теоремы 21.4

Если расстояние от центра окружности до некоторой прямой равно радиусу окружности, то эта прямая является касательной к данной окружности.

Доказательство

Пусть дана окружность с центром O и радиусом r, и прямая a такова, что расстояние от точки O до прямой a равно r. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, т. е. существует точка A на прямой a такая, что OA ⊥ a и OA = r.

Поскольку OA = r, точка A принадлежит окружности. Прямая a проходит через точку A окружности и перпендикулярна радиусу OA, проведённому в эту точку. По признаку касательной (теорема 21.4) прямая a является касательной к данной окружности. ◄

Ответы на вопросы после параграфа

1. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.

2. Угол между хордой, отличной от диаметра, и диаметром, делящим эту хорду пополам, равен 90°.

3. Возможны три случая взаимного расположения прямой и окружности:

   • прямая и окружность не имеют общих точек;
   • прямая пересекает окружность в двух точках;
   • прямая имеет с окружностью ровно одну общую точку (касательная).

4. Касательной к окружности называют прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку.

5. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

6. Если прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то эта прямая является касательной к данной окружности.

7. Если через одну точку проведены две касательные к окружности, то отрезки касательных от этой точки до точек касания равны.