Номер / задача 744 страница 177, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение.

Пусть в треугольнике ABC угол C = 90°. Обозначим ∠ ACB = 90°, а острые углы ∠ A = α, ∠ B = β, где α + β = 90°.

Так как CH — высота из прямого угла на гипотенузу, то в прямоугольном треугольнике ABC:

Так как CM — биссектриса угла C, то она делит прямой угол пополам:

Пусть α < β (определим позже). Тогда высота CH делит угол C на углы β (при вершине A) и α (при вершине B). Биссектриса делит угол C на два угла по 45°.

Рассмотрим угол ∠ HCM. Точка H лежит на AB, точка M лежит на AB. Угол между CH и CM:

(Поскольку ∠ HCB = α и ∠ MCB = 45°, то ∠ HCM = 45° - α, если α < 45°.)

В треугольнике CHM известно, что . Также ∠ CHM — это угол при H. Поскольку CH ⊥ AB, то ∠ CHM = 90°.

В прямоугольном треугольнике CHM (с прямым углом при H):

Следовательно:

Но мы получили, что ∠ HCM = 45° - α, значит:

Тогда:

Ответ: острые углы треугольника ABC равны 15° и 75°.