Номер / задача 743 страница 177, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение.

Пусть O — середина стороны MK, прямая CO перпендикулярна MK, точка C лежит на стороне MN, причём MC = KN и ∠ N = 50°.

Так как CO ⊥ MK и O — середина MK, то CO — серединный перпендикуляр отрезка MK. Значит, любая точка на этой прямой равноудалена от концов отрезка MK, т. е.

По условию MC = KN, поэтому

Треугольник CKN — равнобедренный с основанием CN (боковые стороны CK = KN). Следовательно,

Найдём угол MCO. Поскольку CO ⊥ MK, то ∠ COK = 90°. В треугольнике COK:

Но удобнее действовать иначе. В треугольнике CKN:

Углы ∠ CKN и ∠ CKM — смежные (точки M, K, N — вершины треугольника, но ∠ MKN — угол треугольника при вершине K), причём ∠ MKN = ∠ MKC + ∠ CKN. Однако нам нужен другой путь.

В треугольнике COK (прямоугольном, ∠ COK = 90°):

Угол ∠ OKC — это часть угла ∠ MKN треугольника MKN. Заметим, что ∠ MKN = ∠ OKC (так как O лежит на MK, поэтому ∠ OKC = ∠ MKC... нет, O — между M и K, значит луч KO — это луч KM, и ∠ OKC = ∠ MKC).

Найдём ∠ MKC. Поскольку CK = CM (доказано выше), треугольник MCK — равнобедренный. Значит ∠ CMK = ∠ CKM. Обозначим ∠ CMK = ∠ CKM = α.

В треугольнике MKN:

Здесь ∠ M = ∠ CMK = α (так как C лежит на MN), ∠ K = ∠ MKN = ∠ MKC + ∠ CKN = α + 80°, ∠ N = 50°.

Теперь в прямоугольном треугольнике COK:

Ответ: ∠ MCO = 65°.