Номер / задача 745 страница 177, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: На рисунке 381 $BD = DC$, $DN \perp BC$, $\angle BDM = \angle MDA$. Найдите сумму углов $MBN$ и $BMD$. Рис. 381: треугольник $ABC$ с точкой $D$ на стороне $BC$, точкой $M$ на стороне $AB$, точкой $N$ на стороне $BC$; $DN \perp BC$; отмечены точки $M$ и $N$ на сторонах треугольника.

Рассмотрим треугольник ABD.

Так как BD = DC, точка D — середина стороны BC.

Так как DN ⊥ BC, точка N — основание перпендикуляра из D на BC. Но D лежит на BC, значит DN ⊥ BC и N лежит на BC, поэтому N = D невозможно в общем случае — перпендикуляр из D к прямой BC направлен вертикально, а N лежит на стороне треугольника. Перечитаем условие: N на стороне BC и DN ⊥ BC. Если D лежит на BC, то перпендикуляр из D к BC не пересекает BC ни в какой другой точке, кроме D. Значит, скорее всего DN ⊥ BC означает, что N — точка на другой стороне, или условие нужно понимать иначе.

Перечитаю описание рисунка: точка N на стороне BC... Вероятнее всего, N — на стороне AC, а не BC. Это согласуется с рисунком, где DN — отрезок, перпендикулярный к BC, идущий к стороне AC.

Итак, уточнённые данные: D — на BC, BD = DC, M — на AB, N — на AC, DN ⊥ BC, ∠ BDM = ∠ MDA.

Решение.

В треугольнике ABD рассмотрим углы. Обозначим ∠ BDM = ∠ MDA = α, тогда ∠ BDA = 2α.

Поскольку D лежит на BC, угол ∠ BDA — это угол между DB и DA, причём ∠ BDA + ∠ ADC = 180°, значит ∠ ADC = 180° - 2α.

В треугольнике ABD:

Так как BD = DC, точка D — середина BC, и DM — биссектриса угла BDA.

Рассмотрим DN ⊥ BC. Поскольку ∠ BDN = 90° (так как DN ⊥ BC = BD), а ∠ BDA = 2α, то:

Нет, нужно аккуратнее. Угол ∠ BDN = 90°, и N лежит по ту же сторону от BC, что и A. Тогда ∠ NDA = ∠ BDN - ∠ BDA = 90° - 2α (если 2α < 90°).

В треугольнике BDM:

Заметим, что ∠ BMD и ∠ BMD — это внутренний угол треугольника. Нам нужна сумма ∠ MBN + ∠ BMD.

Точка N лежит на AC, причём ∠ BDN = 90°. Но ∠ MBN = ∠ MBD (так как N лежит на стороне AC, а не между B и D... нет, ∠ MBN — угол при вершине B в треугольнике, и N на AC).

Фактически ∠ MBN = ∠ ABC (поскольку M на AB, N на AC, и ∠ MBN — это угол B треугольника ABC, т.е. ∠ ABN = ∠ ABC).

Обозначим ∠ ABC = β. В треугольнике ABD:

Из ∠ BDN = 90° и ∠ BDA = 2α получаем ∠ NDA = 90° - 2α. В треугольнике ADC: ∠ ADC = 180° - 2α, и DN делит его так, что ∠ NDC = 90°.

В треугольнике BMD: ∠ MBD + ∠ BMD = 180° - α.

Значит:

Поскольку ∠ MBN = ∠ ABD = β и ∠ BMD = 180° - α - β:

Сумма углов MBN и BMD равна .

Номер 745