Номер / задача 740 страница 177, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Пусть даны две стороны AC = b, BC = a и медиана CM = m, проведённая к третьей стороне AB.

Построим отрезок AB позже, а начнём с того, что нам известно о медиане. Вспомним ключевое свойство: медиана CM проведена к стороне AB, значит точка M — середина AB.

Идея построения. Сначала построим точку C, зная длины a, b и m.

Проведём произвольную прямую и отложим на ней отрезок AB произвольной длины? Нет — сторона AB нам не дана. Поступим иначе.

Отложим отрезок CM = m (рис.). Задача сводится к нахождению точек A и B таких, что M — середина AB, BC = a, AC = b.

Шаг 1. Проведём произвольную прямую и отложим на ней точку M. Из точки M отложим отрезок MC = m. Получим точку C.

Шаг 2. Теперь нужно найти точку B такую, что BC = a, и точку A такую, что AC = b, причём M — середина AB.

Точка B обладает двумя свойствами одновременно:

1. она удалена от точки C на расстояние a, т.е. принадлежит окружности с центром C радиуса a;

2. она лежит на некоторой прямой, проходящей через M, причём A — точка, симметричная B относительно M, и AC = b.

Удобнее действовать так. Заметим: если M — середина AB, то A симметрична B относительно M. Значит, зная B, получим A.

Шаг 3 (ключевой — метод ГМТ для точки B). Точка B обладает сразу двумя свойствами:

1. BC = a, т.е. B лежит на окружности с центром C и радиусом a;

2. AC = b, где A симметрична B относительно M. Но если A симметрична B относительно M, то AC = b равносильно тому, что B удалена от точки C' на расстояние b, где C' — точка, симметричная C относительно M. Действительно, при симметрии относительно M расстояние AC переходит в BC'. Значит B лежит на окружности с центром C' и радиусом b.

Построение:

1. Строим точку M и точку C на расстоянии m от M.
2. Строим точку C', симметричную C относительно M (т.е. M — середина CC', MC' = m, точка C' лежит на продолжении CM за точку M).
3. Строим окружность с центром C и радиусом a (чёрная окружность).
4. Строим окружность с центром C' и радиусом b (голубая окружность).
5. Точка пересечения этих окружностей — искомая точка B.
6. Строим точку A, симметричную B относительно M.

Треугольник ABC — искомый, так как BC = a, AC = b, а CM = m — медиана к стороне AB (поскольку M — середина AB по построению).

В качестве точки B можно выбрать любую из двух зелёных точек пересечения окружностей. Задача имеет решение, если окружности и пересекаются.