Номер / задача 741 страница 177, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Пусть даны: сторона AB = c, высота CH = h, проведённая к стороне AB, и медиана AM = m, проведённая к стороне BC (где M — середина BC).

Шаг 1. Проведём произвольную прямую и отложим на ней отрезок AB = c.

Шаг 2. Проведём прямую, параллельную AB, на расстоянии h от неё. Вершина C принадлежит этой прямой, так как высота треугольника, проведённая к стороне AB, равна h (это первое свойство точки C — геометрическое место точек, удалённых от прямой AB на расстояние h).

Шаг 3. Найдём второе свойство точки C. Медиана AM = m, где M — середина BC. Воспользуемся следующим соображением: если M — середина BC, то C и B симметричны относительно M, то есть C = 2M - B. Но удобнее рассуждать через точку M.

Заметим: M — середина BC, значит M лежит на окружности с центром A и радиусом m (так как AM = m). Одновременно M — середина BC, поэтому C = 2M - B.

Поступим иначе — выразим условие непосредственно на точку C.

Шаг 3 (метод ГМТ). Построим точку D — середину отрезка AB. Тогда по свойству медианы и средней линии: M — середина BC, а D — середина AB, значит DM — средняя линия треугольника ABC, параллельная AC и равная .

Это не упрощает задачу напрямую. Применим другой подход.

Поскольку M — середина BC, точка C определяется так: . Значит, если AM = m, то множество точек C таких, что середина BC удалена от A на расстояние m, — это окружность с центром 2A - B (точка, симметричная B относительно A) и радиусом 2m.

Действительно, пусть M — середина BC. Тогда , и |AM| = m. Обозначим A' — точку, симметричную B относительно A, т.е. A' = 2A - B. Тогда:

Значит |CA'| = 2m.

Итого: точка C принадлежит окружности с центром A' (симметричной B относительно A) и радиусом 2m — это второе свойство.

Построение:

1. На прямой откладываем отрезок AB = c.
2. Строим точку A', симметричную B относительно A (откладываем AA' = AB по другую сторону от A).
3. Проводим прямую , параллельную AB на расстоянии h от неё (ГМТ, удалённых от AB на h) — синий цвет.
4. Проводим окружность с центром A' и радиусом 2m — жёлтый цвет.
5. Точки пересечения прямой и окружности — зелёные точки — это возможные положения вершины C.

Каждая такая точка C даёт искомый треугольник ABC, в котором AB = c, высота из C на AB равна h, а медиана из A к середине BC равна m.

Каждый из треугольников и является искомым. Поскольку они симметричны относительно прямой AB, задача имеет единственное решение (с точностью до равенства треугольников).