Номер / задача 739 страница 177, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Решение. Пусть даны высота h, медиана m, проведённые из вершины C, и радиус описанной окружности R. Нужно построить треугольник ABC.
Шаг 1. Построим окружность ω данного радиуса R с центром O' — это описанная окружность искомого треугольника. Вершины A и B лежат на этой окружности.
Шаг 2. Проведём произвольную прямую l. Вершина C удалена от прямой AB на расстояние h (высота). Пока прямая AB неизвестна, поступим иначе — будем искать сторону AB через медиану.
Воспользуемся другим порядком построения.
Шаг 1. Проведём прямую l и отметим на ней точку M — это будет середина стороны AB.
Шаг 2. Вершина C обладает двумя свойствами одновременно:
C удалена от точки M на расстояние m (медиана), т. е. C лежит на окружности с центром M радиуса m;
C удалена от прямой l на расстояние h (высота к AB, а AB лежит на прямой l), т. е. C лежит на прямой, параллельной l и отстоящей от неё на расстояние h.
Пересечение окружности с центром M радиуса m и прямой, параллельной l на расстоянии h, даёт точку C (выберем одну из точек пересечения).
Шаг 3. Теперь нужно найти A и B. Они лежат на прямой l, симметричны относительно M, и все три вершины A, B, C лежат на окружности радиуса R.
Построим окружность ω радиуса R, проходящую через точку C, центр которой равноудалён от A и B (значит, центр лежит на перпендикуляре к l, проходящем через M). Центр O' описанной окружности лежит на перпендикуляре к AB через M на расстоянии R от точки C.
Итак, центр O' лежит на прямой, перпендикулярной l и проходящей через M (серединный перпендикуляр к AB). При этом O'C = R. Значит:
O' лежит на перпендикуляре к l через M;
O' лежит на окружности с центром C радиуса R.
Пересечение этих двух линий даёт точку O'.
Шаг 4. Построив O', проведём окружность ω с центром O' радиуса R. Точки A и B — пересечение окружности ω с прямой l.
Полученный треугольник ABC — искомый, так как в нём высота из C равна h, медиана из C равна m, а радиус описанной окружности равен R.
Условие существования решения: необходимо, чтобы h ≤slant m (иначе точка C не найдётся), и чтобы все пересечения на каждом шаге существовали, т. е. окружности и прямые действительно пересекались.
