Номер / задача 738 страница 177, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Пусть даны периметр P = a + b + c, угол α (угол при вершине A) и высота (высота из вершины B на сторону AC).

Шаг 1. Построим угол, равный α, с вершиной A и отложим на одной из его сторон отрезок AD = P (равный периметру). Соединим точку D с другой стороной угла так, чтобы получить нужную конструкцию. Точнее, поступим следующим образом.

Построим луч AX и луч AY так, чтобы ∠ XAY = α. На луче AX отложим отрезок AD = P. Проведём отрезок DY', где Y' — точка на луче AY. Но нам нужно определить положение вершин B и C на сторонах угла.

Перестроим рассуждение, используя метод ГМТ более явно.

Шаг 1. Построим отрезок AC' произвольной длины и угол ∠ BAC = α (угол при вершине A известен). Заметим, что вершина C лежит на одной стороне угла, вершина B — на другой. Пока положение B и C неизвестно.

Шаг 2 (сведение к известной конструкции). На стороне AB луча отложим точку E такую, что AE = P (периметр). Тогда вершины B и C лежат внутри отрезка AE и стороны угла соответственно, причём AB + BC + CA = AE.

Рассмотрим вспомогательный треугольник. Отложим на луче AX (сторона угла α) отрезок AE = P. Вершина C лежит на другом луче AY, а вершина B — на луче AX, причём B между A и E, и BE = BC + CE... Это усложняется.

Воспользуемся классическим приёмом: построим треугольник на отрезке, равном периметру.

Шаг 1. Проведём прямую и отложим на ней отрезок DE = P. Построим в точке D угол (половина данного угла). Вершина A искомого треугольника совпадёт с D, если мы воспользуемся развёрткой периметра. А именно: на отрезке DE точка B' и точка C' делят его так, что DB' = AB, B'C' = BC, C'E = CA. Тогда △ DB'A — равнобедренный (DB' = AB... нет, D = A).

Применим стандартный метод построения треугольника по периметру и углу.

Шаг 1. Отложим отрезок B'C' = P на прямой. Построим и ∠ EC'C = ... — для этого нужен второй угол, которого у нас нет.

Используем метод ГМТ напрямую с данными P, α, .

Шаг 1. Строим угол ∠ A = α с вершиной A. На его сторонах расположены точки B и C.

Шаг 2. Высота — это расстояние от B до прямой AC. Значит, точка B лежит на прямой, параллельной AC на расстоянии (свойство 1 — «синее» ГМТ).

Шаг 3. Периметр AB + BC + CA = P. Отложим на луче AB точку B' так, что AB' = P - AC, тогда B' зависит от C. Вместо этого: на луче BA за точку A отложим AM = AC (точка M на продолжении BA). Тогда BM = BA + AM = BA + AC = P - BC, т.е. BM + BC = P, значит точка B лежит на эллипсе с фокусами M и C… Но M тоже неизвестна.

Применим другой подход.

Построение:

Шаг 1. Строим ∠ XAY = α.

Шаг 2. Проводим прямую , параллельную AY (стороне AC), на расстоянии от неё. Точка B лежит на , что даёт нам конкретную точку B (свойство 1).

Итак, из прямой AX и прямой на расстоянии находим точку B. Расстояние от B до AY равно , и B лежит на луче AX. Это определяет длину AB: из точки B опустим перпендикуляр на AY, его длина , и . Таким образом сторона c = AB определена.

Шаг 3. Теперь известны и a + b = P - c. Нужно найти точку C на луче AY такую, что AC + BC = P - c = a + b.

Точка C обладает двумя свойствами:

1. Она лежит на луче AY — это первое ГМТ (синее).
2. AC + BC = P - c — точка C лежит на эллипсе с фокусами A и B с суммой расстояний P - c. Но эллипс циркулем и линейкой не строится.

Поэтому используем другой приём. На луче AY отложим AC = b (неизвестное). Тогда BC = P - c - b. По теореме косинусов:

Это уравнение с одним неизвестным b, из которого b находится, а значит точка C строится. Но нам нужно геометрическое построение.

Метод ГМТ (правильный подход):

Шаг 1. Строим угол ∠ XAY = α с вершиной A.

Шаг 2. Точка B лежит на луче AX, причём расстояние от B до прямой AY равно . Проводим прямую, параллельную AY, на расстоянии . Её пересечение с лучом AX даёт точку B.

Шаг 3. Теперь нужно найти точку C на луче AY так, чтобы периметр △ ABC равнялся P, т.е. AC + BC = P - AB.

Обозначим s = P - AB. На луче AY от точки A отложим точку C' такую, что AC' = s. Тогда BC' = BC + CC' при C между A и C', т.е. BC'= BC + (s - AC) = BC + (s - AC). Но BC + AC = s, значит CC' = s - AC и BC = s - AC... нет.

Используем стандартный приём: точка C такова, что AC + CB = s. Отложим на луче CA за точку A отрезок AT = s, тогда... Лучше так:

На луче AY отложим AF = s = P - AB. Тогда нужно, чтобы AC + CB = AF, т.е. CB = CF + FA - FA ...

Применим классический метод. Точка C лежит на луче AY и AC + CB = s. Построим окружность с центром B и радиусом r, тогда AC = s - r, и точка C на луче AY на расстоянии s - r от A, и одновременно на расстоянии r от B. Это значит:

Отложим на луче AY точку F: AF = s. Тогда CF = s - AC = BC. Значит, треугольник BCF — равнобедренный: BC = CF. Точка C лежит на серединном перпендикуляре отрезка BF.

Вот ключевая идея!

Итого, построение методом ГМТ:

Шаг 1. Строим ∠ XAY = α с вершиной A.

Шаг 2. Проводим прямую на расстоянии от AY. Пересечение с лучом AX даёт точку B.

Шаг 3. На луче AY откладываем AF = P - AB.

Шаг 4. Точка C обладает двумя свойствами:

• (свойство 1) принадлежит лучу AY (первое ГМТ — «синее»);
• (свойство 2) равноудалена от точек B и F (так как BC = CF), т.е. принадлежит серединному перпендикуляру отрезка BF (второе ГМТ — «жёлтое»).

Пересечение луча AY и серединного перпендикуляра BF даёт «зелёную» точку C.

Шаг 5. Треугольник ABC — искомый.

Проверка. В построенном треугольнике:

• ∠ A = α (по построению);
• высота из B на AC равна (по построению, так как расстояние от B до прямой AC равно );
• AC + CB = AC + CF = AF = P - AB, значит AB + AC + BC = P. ✓

Задача имеет решение, если построенный треугольник остроугольный.

Построенный треугольник ABC является искомым, так как ∠ BAC = α, высота из вершины B на сторону AC равна , а периметр равен P.