Номер / задача 737 страница 177, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Пусть даны периметр P = a + b + c и два угла α и β искомого треугольника ABC (где ∠ A = α, ∠ B = β).

Шаг 1. Отложим на прямой отрезок AB' = P (равный периметру).

Шаг 2. Из точки A' (левый конец отрезка) проведём луч под углом к отрезку A'B', а из точки B' (правый конец) — луч под углом к отрезку A'B' (по другую сторону, т.е. внутрь). Эти два луча пересекутся в точке C — это и будет третья вершина искомого треугольника.

Почему это работает: В треугольнике A'CB' углы при основании равны и .

Шаг 3. Теперь найдём вершины A и B на отрезке A'B'. Треугольник A'CA — равнобедренный, поскольку , а ∠ A'CA = 180° - ∠ A'CB'... Рассуждаем иначе.

Угол при вершине C в треугольнике A'CB' равен . Нам нужно, чтобы A'A = CA и B'B = CB, тогда A'A + AB + BB' = CA + AB + CB = P, что и требуется.

Шаг 3 (уточнение). Построим серединный перпендикуляр отрезка A'C — он пересечёт A'B' в точке A (так что A'A = CA, т.е. треугольник A'CA равнобедренный). Аналогично, серединный перпендикуляр отрезка B'C пересечёт A'B' в точке B (так что B'B = CB).

Проверка. В равнобедренном треугольнике A'CA: , значит ∠ CAA' = 180° - α (внешний угол), откуда ∠ CAB = α. ✓

Аналогично ∠ CBА = β. ✓

Периметр: CA + AB + CB = A'A + AB + BB' = A'B' = P. ✓

Треугольник ABC — искомый.

Таким образом, искомый треугольник ABC построен: он имеет заданный периметр P и углы α, β.