Номер / задача 736 страница 176, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Пусть дана сторона AB = c, разность углов α - β (где α = ∠ A, β = ∠ B, α > β) и сумма двух других сторон AC + BC = s.

Отложим на прямой отрезок AB, равный c. Задача сводится к нахождению вершины C искомого треугольника.

Свойство 1 (сумма сторон). Точка C принадлежит геометрическому месту точек, для которых AC + BC = s, т. е. эллипсу с фокусами A и B и суммой расстояний до фокусов, равной s.

Свойство 2 (разность углов). Покажем, что разность углов при основании определяет геометрическое место точек — дугу окружности.

Заметим, что в треугольнике ABC:

Проведём биссектрису угла C. Она делит угол C пополам. Рассмотрим другой подход.

Из точки A на луче AB отложим отрезок AD = s (так что D лежит на продолжении BA за точку A, если нужно, или на луче AB — уточним). Поступим так: на луче AC отложим отрезок AK = AB = c. Тогда KC = AC - c... Это усложняется.

Воспользуемся классическим приёмом. На продолжении стороны CA за точку A отложим отрезок AD = AB = c. Тогда DC = DA + AC = c + AC, а нам дана сумма AC + BC = s.

Лучше так: на луче CA за точку C отложим BD' — тоже не то.

Переформулируем. На луче CB отложим отрезок BD = BA = c. Тогда треугольник ABD — равнобедренный, ∠ ADB = ∠ DAB = β. Значит ∠ ABD = 180° - 2β, и ∠ ABC = β, поэтому ∠ DBC = ∠ ABD + ∠ ABC... Это тоже запутывает.

Применим другой классический приём. На луче AC отложим AD = AB = c. Тогда треугольник ABD равнобедренный, .

Тогда .

А также CD = AC - AD = AC - c, и CD + BC = AC - c + BC = s - c — известная величина.

Ещё: ... Углы зависят от неизвестного α.

Используем разность углов напрямую. Известно, что α - β = δ (дано). Тогда ... но γ неизвестен.

Вот ключевое наблюдение: разность α - β задаёт дугу. Действительно, построим на отрезке AB точку M — середину, и проведём серединный перпендикуляр. Точка C лежит по ту сторону, где α > β, т. е. ближе к B.

Конструкция с использованием вспомогательной точки. На луче CA за точку A отложим AE = BC. Тогда CE = CA + AE = CA + BC = s, т. е. точка E лежит на окружности с центром C и радиусом s. Но C неизвестна.

Поступим наоборот. На луче CA отложим от C отрезок CE = s, тогда EA = CE - CA = s - CA = BC, значит треугольник ABE — равнобедренный (EA = BC)... нет, EA = BC не даёт равнобедренности.

Правильный классический приём:

На продолжении AC за точку C отложим CP = CB. Тогда AP = AC + CP = AC + BC = s.

Треугольник BPC — равнобедренный (CP = CB), поэтому .

Также .

Поскольку γ = 180° - α - β, получаем , и:

(так как P на продолжении AC за C, угол BAP = 180° - ∠ BAC = 180° - α).

Тогда в треугольнике ABP:

Это замечательный результат! Угол — известен.

Построение:

1. Строим отрезок AB = c.

2. ГМТ 1 (жёлтое). Из точки A строим окружность радиуса s — точка P лежит на ней (AP = s).

3. ГМТ 2 (синее). Из точки B проводим луч, составляющий с BA угол (в нужную полуплоскость). Точка P лежит на этом луче, поскольку .

Точка P — пересечение окружности с центром A радиуса s и луча из B под углом к BA (зелёная точка).

4. Найдя точку P, строим точку C как середину дуги... нет: C лежит на отрезке AP, причём CP = CB. Значит C лежит на серединном перпендикуляре отрезка BP и одновременно на отрезке AP.

Проводим серединный перпендикуляр к BP — он пересекает AP в точке C. Треугольник ABC — искомый.

Проверка. В построенном треугольнике ABC:

• AB = c (по построению);
• AC + BC = AP = s, так как CP = CB (точка C лежит на серединном перпендикуляре к BP), поэтому AC + BC = AC + CP = AP = s ✓;
• ∠ A - ∠ B = δ, так как по построению, а мы доказали, что это эквивалентно разности углов α - β = δ ✓.

Треугольник ABC является искомым.