Номер / задача 735 страница 176, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Пусть даны сторона a = BC, противолежащий ей угол α и сумма двух других сторон AB + AC = s.

Шаг 1. Построим вспомогательный отрезок. Отложим на луче отрезок BD = s. Тогда если точка A лежит на отрезке BD и BA + AC = s, то AC = AD, т.е. треугольник ACD — равнобедренный.

Шаг 2. Построим треугольник BDC. Поскольку AB + AC = BD = s и треугольник ACD равнобедренный, угол ∠ ADC = ∠ ACD. Так как ∠ BAC = α, а ∠ BAC — внешний угол треугольника ACD при вершине A, то:

Значит, .

Итак, в треугольнике BDC известны: сторона BC = a, сторона BD = s и угол .

Шаг 3. Построение.

1. Отложим отрезок BD = s на прямой.

2. В точке D построим угол (одна сторона — луч DB, другая — луч, на котором будет лежать C).

3. Теперь нужно найти точку C такую, что BC = a. Точка C обладает двумя свойствами:

   • принадлежит лучу из D, образующему угол с DB (синее ГМТ);
   • принадлежит окружности с центром B радиуса a (жёлтое ГМТ).

   Точка пересечения луча и окружности даёт вершину C.

4. Найдём вершину A. Точка A обладает двумя свойствами:

   • лежит на отрезке BD (синее ГМТ);
   • равноудалена от C и D, т.е. лежит на серединном перпендикуляре отрезка CD (жёлтое ГМТ).

   Пересечение серединного перпендикуляра к CD с отрезком BD даёт точку A.

Треугольник ABC — искомый, так как BC = a, ∠ BAC = α (как угол при вершине A, внешний для равнобедренного треугольника ACD, равный 2∠ ADC = α), и AB + AC = AB + AD = BD = s.

Треугольник ABC — искомый.