Номер / задача 732 страница 176, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Пусть даны сторона a = BC, прилежащий к ней угол ∠ B = β и сумма двух других сторон AB + AC = s.

Отложим на прямой отрезок BC = a. Из точки B проведём луч под углом β к прямой BC. На этом луче отложим отрезок BD = s (так как AB + AC = s). Соединим точки D и C.

Теперь нужно найти точку A на отрезке BD такую, что AB + AC = s, то есть AC = s - AB = BD - AB = AD. Значит, точка A равноудалена от точек C и D, то есть лежит на серединном перпендикуляре отрезка CD.

Применим метод ГМТ. Точка A обладает двумя свойствами одновременно:

1. принадлежит лучу BD (точки, лежащие на луче из B под углом β к BC);
2. принадлежит серединному перпендикуляру отрезка CD (геометрическое место точек, равноудалённых от C и D).

Точка пересечения луча BD и серединного перпендикуляра отрезка CD и есть искомая вершина A.

Полученный треугольник ABC является искомым, так как BC = a, ∠ ABC = β, а поскольку A лежит на серединном перпендикуляре CD, то AC = AD, откуда AB + AC = AB + AD = BD = s.

Построение (план):

1. Откладываем отрезок BC = a.
2. Из точки B проводим луч под углом β к BC.
3. На этом луче откладываем точку D так, что BD = s.
4. Проводим отрезок CD и строим его серединный перпендикуляр.
5. Точка пересечения серединного перпендикуляра с лучом BD и есть вершина A.
6. Треугольник ABC — искомый.