Номер / задача 731 страница 176, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Пусть дано основание AB = a и разность d = b - h, где b — боковая сторона, h — высота, опущенная на основание.

Проведём произвольную прямую и отложим на ней отрезок AB = a. Поскольку треугольник равнобедренный, высота CH, опущенная на основание, проходит через середину H отрезка AB. Задача сводится к нахождению точки C.

Выразим связь между боковой стороной и высотой. По теореме Пифагора в треугольнике BCH:

Так как b - h = d, то b = h + d. Подставим:

Зная h, находим b = h + d.

Теперь построение методом ГМТ. Отложим отрезок AB = a и отметим его середину H. Точка C обладает двумя свойствами:

1. принадлежит геометрическому месту точек, удалённых от точки H на расстояние h, т. е. окружности с центром H радиуса h;
2. принадлежит прямой, проходящей через H перпендикулярно AB (ось симметрии равнобедренного треугольника).

В качестве точки C выбираем одну из двух точек пересечения этой окружности с перпендикуляром — ту, что лежит по нужную сторону от AB.

Полученный треугольник ABC является искомым, так как AB = a, AC = BC = b и b - h = d.

Построение (по шагам с циркулем и линейкой):

1. Откладываем отрезок AB = a и строим его середину H.
2. Через H проводим перпендикуляр к AB.
3. На произвольной прямой откладываем отрезок d и с помощью вспомогательного построения находим (это можно сделать циркулем и линейкой, так как выражение содержит только рациональные операции).
4. Проводим окружность с центром H радиуса h.
5. Точка C — пересечение этой окружности с перпендикуляром.

Треугольник ABC — искомый.