Номер / задача 730 страница 176, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Пусть дан катет a и разность d = c - b, где c — гипотенуза, b — другой катет.

Нужно построить прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, в котором BC = a, AB = c, AC = b.

Проведём произвольную прямую и отложим на ней отрезок BC = a. В точке C восставим перпендикуляр к прямой BC — третья вершина A лежит на этом перпендикуляре (так как угол C — прямой).

Задача свелась к построению точки A. Воспользуемся условием c - b = d, то есть AB - AC = d.

Заметим: из точки B отложим на луче BA отрезок BK = AC = b. Тогда AK = AB - BK = c - b = d. Значит, точка K лежит на окружности с центром A радиуса d... Это не сразу даёт построение. Поступим иначе.

Используем метод ГМТ. Построим отрезок BC = a и восставим перпендикуляр в точке C. Точка A обладает двумя свойствами:

1. A лежит на перпендикуляре к BC в точке C (так как угол C = 90°).

2. A лежит на ГМТ точек, для которых AB - AC = d.

Найдём это второе ГМТ. Пусть AC = b, тогда AB = b + d. На луче CA отложим от A отрезок AD = d (за точку C), тогда CD = CA + AD = b + d = AB. Значит, треугольник ABD — равнобедренный, и точка D лежит на окружности с центром B радиуса CD.

Но можно поступить проще. Отложим от точки B на прямой BC отрезок BM = d (в сторону от C, так что MC = a + d, или в сторону C, так что MC = a - d). Рассмотрим конструктивный подход:

Поскольку c - b = d и , получим , откуда , значит , то есть:

Теперь построение:

1. Проведём прямую и отложим отрезок BC = a.
2. В точке C восставим перпендикуляр l к прямой BC.

Точка A обладает двумя свойствами одновременно:

1. принадлежит перпендикуляру l (ГМТ, из которых отрезок BC виден под прямым углом при вершине на l);
2. принадлежит окружности с центром B радиуса c = b + d. Но b мы можем найти: на прямой BC от точки B откладываем отрезок BN = d, строим середину C и N...

Используем прямое построение. Отложим на перпендикуляре l от точки C отрезок . Этот отрезок строится так: строим отрезок как четвёртую пропорциональную (d : a = a : x, тогда ), затем вычитаем d и делим пополам.

Но по духу параграфа — метод ГМТ с двумя окружностями:

1. Строим BC = a, восставляем перпендикуляр в C.
2. На луче CB за точку B откладываем отрезок BD = d. Строим серединный перпендикуляр отрезка CD — он пересекает перпендикуляр l в точке A, ибо AB = c = b + d, а AD = AB (из равнобедренности) даёт CA = CD - d...

Итоговое построение:

1. Откладываем BC = a, восставляем перпендикуляр в точке C.
2. На продолжении CB за B откладываем BK = d.
3. Строим серединный перпендикуляр отрезка CK — он пересекает перпендикуляр в точке C в точке A.

Точка A — искомая вершина, так как AB = AK (точка на серединном перпендикуляре CK), а AK = AC + CK... Нет, K не на той прямой.

Вернёмся к ясному решению.

Построение:

1. Строим отрезок BC = a.
2. Восставляем в точке C перпендикуляр к BC — это первое ГМТ (прямая l), на котором лежит вершина A.
3. Строим окружность с центром B и радиусом — это второе ГМТ. (Радиус равен гипотенузе c; его получаем построением четвёртой пропорциональной: из находим b, затем c = b + d.)

Точка пересечения прямой l и окружности и есть искомая вершина A.

Полученный треугольник ABC является искомым, так как угол C = 90° (вершина A лежит на перпендикуляре к BC в точке C), BC = a, а AB - AC = c - b = d.

Исследование. Задача имеет решение, когда окружность пересекает перпендикуляр, то есть когда c > d (что равносильно b > 0, т.е. , или a > d). Поскольку обе точки пересечения дают равные треугольники (симметричные относительно BC), решение единственно.