Номер / задача 729 страница 176, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Пусть даны отрезок длины c (гипотенуза) и отрезок длины d (разность катетов, d = a - b, где a > b). Надо построить прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, в котором гипотенуза AB = c, а разность катетов BC - AC = d.

Построение.

1. Проведём прямую и отложим на ней отрезок AB = c — это гипотенуза искомого треугольника.

2. Вершина C прямого угла обладает сразу двумя свойствами:

   Свойство 1. Точка C принадлежит геометрическому месту точек, из которых отрезок AB виден под прямым углом, т. е. окружности с диаметром AB. Это окружность с центром в середине O отрезка AB и радиусом (чёрная окружность).

   Свойство 2. Разность расстояний от точки C до точек B и A равна d, т. е. BC - AC = d. Отложим от точки A на луче AB отрезок AK = d. Тогда условие BC - AC = d равносильно BC = AC + d. Точка C равноудалена от точки B и точки K, поскольку AC = AK + KC...

   Перейдём к другому подходу. Пусть BC = a, AC = b, тогда a - b = d и . Из этих соотношений:

Проще: a - b = d, . Тогда , значит , откуда .

Воспользуемся свойством 2 иначе. Точка C лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему точку B и точку A', где A' — точка на луче CA такая, что BA' = d...

Применим наиболее простой путь. Построим на отрезке AB как на гипотенузе прямоугольный треугольник, используя два ГМТ:

• Свойство 1: C лежит на окружности с диаметром AB (угол ACB = 90°) — чёрная окружность с центром O (середина AB) и радиусом .

• Свойство 2: BC - AC = d. Точка C лежит на ветви гиперболы с фокусами A и B. Но в элементарном построении заменим это так: на катете BC отложим от C отрезок CD = AC (т. е. BD = d). Треугольник ACD — равнобедренный,

Используем прямое построение:

3. Из точки B на прямой AB отложим отрезок BM = d в сторону точки A (точка M между A и B). Найдём середину N отрезка AM. Восставим перпендикуляр к AB в точке N (голубая прямая). Точка C равноудалена от A и M (так как AC = BC - d = BM + MC - d... нет).

Вернёмся к чистому методу ГМТ с двумя окружностями.

Зная c и d, найдём катеты: a - b = d, . Тогда:

Отрезок строится циркулем и линейкой (как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами c и c, минус... нет). Построим проще:

Построение (метод ГМТ):

1. Строим отрезок AB = c.
2. Строим окружность с диаметром AB (центр O — середина AB, радиус ). Любая точка этой окружности образует с A и B прямой угол — первое свойство.
3. На луче BA от точки B откладываем отрезок BK = d. Точка K лежит между A и B. Проводим окружность с центром K и радиусом KC = KA = c - d... нет.

Применю другой классический приём.

На катете BC (BC = a) отложим от вершины C отрезок CE = b = AC. Тогда BE = a - b = d. Треугольник ACE равнобедренный (AC = CE = b), и ∠ AEC = ∠ EAC. Поскольку ∠ ACB = 90°, то ∠ EAC + ∠ AEC = 90°, значит ∠ AEC = 45°, т. е. ∠ AEB = 135°... Это не упрощает построение.

Итоговое построение:

1. Проводим прямую и откладываем отрезок AB = c (гипотенуза).

2. Строим середину O отрезка AB. Проводим окружность с центром O и радиусом (окружность с диаметром AB) — чёрная окружность. Вершина C лежит на ней (свойство: ∠ ACB = 90°).

3. Из точки B откладываем на луче BA отрезок BK = d (точка K между A и B, так как d < c). Строим серединный перпендикуляр p к отрезку AK — голубая прямая. Любая точка этой прямой равноудалена от A и K, т. е. для точки C на этой прямой выполнено CA = CK. Тогда CB - CA = CB - CK = BK = d (поскольку K лежит на отрезке CB, что верно, когда C и A по одну сторону). Это и есть второе свойство.

4. Точка пересечения окружности и серединного перпендикуляра p даёт вершину C искомого треугольника.

Треугольник ABC — искомый, так как ∠ ACB = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр), AB = c, и BC - AC = d.

В качестве точки C можно выбрать любую из двух зелёных точек пересечения. Полученный треугольник ABC является искомым, так как ∠ ACB = 90°, AB = c и BC - AC = d.