Номер / задача 728 страница 176, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Пусть даны отрезок длины c (гипотенуза) и отрезок длины s (сумма катетов, s = a + b). Надо построить прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, в котором AB = c, AC + BC = s.

Шаг 1. Проведём произвольную прямую и отложим на ней отрезок AB = c — это гипотенуза искомого треугольника.

Шаг 2. Вершина C (вершина прямого угла) обладает одновременно двумя свойствами:

1. Точка C принадлежит геометрическому месту точек, из которых отрезок AB виден под прямым углом, т. е. окружности с диаметром AB. Это окружность с центром в середине O отрезка AB и радиусом (чёрная окружность).

2. Точка C принадлежит геометрическому месту точек, сумма расстояний от которых до точек A и B равна s, т. е. эллипсу с фокусами A и B и суммой полуосей s. Однако в рамках построения циркулем и линейкой воспользуемся другим приёмом.

Шаг 2 (уточнение). Применим вспомогательное построение. На луче CA за точку A отложим отрезок AD = BC. Тогда CD = CA + AD = CA + BC = s. Треугольник BDA — равнобедренный (BD = BA... нет, это не так). Используем другой подход.

Отложим на одной из сторон прямого угла дополнительный отрезок. А именно: от точки A на луче AC отложим отрезок AK = s. Тогда KC = AK - AC = s - AC = BC. Значит, треугольник BKC — равнобедренный, и ∠ BKC = ∠ KBC.

Поскольку ∠ ACB = 90°, то ∠ KBC + ∠ BKC = 90°, откуда ∠ BKC = 45°, т. е. ∠ ABK = 45° (так как K лежит на луче AC от A, и ∠ KBA = ∠ KBC... пересмотрим).

Вот корректный план построения:

Шаг 1. Строим отрезок AB = c.

Шаг 2. Строим точку K такую, что AK = s и ∠ ABK = 45°. Для этого проводим из точки B луч под углом 45° к прямой AB. Затем проводим окружность с центром A радиуса s (голубая окружность). Точка K — пересечение этого луча и окружности.

Шаг 3. Вершина C — основание перпендикуляра из B на отрезок AK, т. е. точка пересечения прямой AK и перпендикуляра к ней из точки B.

Тогда в треугольнике BKC: ∠ BKC = 45°, ∠ BCK = 90°, значит ∠ KBC = 45°, и треугольник BKC равнобедренный, BC = KC. Поэтому AC + BC = AC + KC = AK = s. А ∠ ACB = 90° по построению.

Построение:

1. Проводим отрезок AB = c.
2. Из точки B проводим луч, составляющий угол 45° с AB.
3. Из точки A проводим окружность радиуса s; она пересекает луч в точке K.
4. Из точки B опускаем перпендикуляр на прямую AK; основание перпендикуляра — точка C.
5. Треугольник ABC — искомый.

Проверка: ∠ ACB = 90° (по построению), AB = c, AC + BC = AC + KC = AK = s.

Искомый треугольник ABC построен: ∠ ACB = 90°, AB = c, AC + BC = s.