Номер / задача 727 страница 176, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Решение. Пусть дан катет a и сумма гипотенузы и другого катета s = b + c, где b — второй катет, c — гипотенуза.
Построим прямой угол: проведём луч и отложим на нём отрезок CA = a (данный катет). Из точки C проведём перпендикуляр — это второй луч прямого угла, на котором лежит вершина B. Задача сводится к нахождению точки B.
Точка B обладает двумя свойствами:
Она лежит на перпендикуляре к CA, проведённом из точки C (так как угол C — прямой). Это первое ГМТ — прямая через C, перпендикулярная CA.
Нужно использовать условие AB + BC = s. Рассмотрим все точки B такие, что AB + BC = s. Заметим: отложим на луче перпендикуляра из C отрезок CD = s. Тогда если B — искомая точка, то BC + BA = s = CD, значит BA = BD. Следовательно, точка A равноудалена от B и D, то есть B лежит на серединном перпендикуляре отрезка AD. Но можно рассуждать иначе.
Воспользуемся другим подходом. Отложим на перпендикуляре из точки C отрезок CD = s (сумма гипотенузы и второго катета). Соединим D и A. Тогда искомая точка B лежит на отрезке CD, причём BC + BA = s = CD, откуда BA = BD. Значит, треугольник ABD — равнобедренный, и точка B лежит на серединном перпендикуляре отрезка AD.
Таким образом, точка B принадлежит одновременно:
отрезку CD (луч из C перпендикулярно CA, где CD = s) — первое ГМТ;
серединному перпендикуляру отрезка AD — второе ГМТ (множество точек, равноудалённых от A и D).
Точка пересечения этих двух прямых и есть искомая вершина B.
Полученный треугольник ABC является искомым, так как угол C — прямой, CA = a, а AB + BC = BD + BC = CD = s.
Построение:
- Проводим луч и откладываем отрезок CA = a.
- Из точки C проводим перпендикуляр к CA.
- На этом перпендикуляре откладываем отрезок CD = s.
- Соединяем точки A и D.
- Проводим серединный перпендикуляр отрезка AD.
- Точка B — пересечение серединного перпендикуляра отрезка AD с лучом CD — искомая вершина.
- Треугольник ABC — искомый.
Доказательство. Угол C прямой по построению, CA = a. Так как B лежит на серединном перпендикуляре AD, то BA = BD, откуда BA + BC = BD + BC = CD = s, что и требовалось.
