Номер / задача 726 страница 176, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Пусть даны три прямые a, b, c, попарно пересекающиеся и не проходящие через одну точку. Нужно найти точку, равноудалённую от всех трёх прямых.

Воспользуемся методом ГМТ.

ГМТ, равноудалённых от двух пересекающихся прямых, — это пара биссектрис углов, образованных этими прямыми.

1. Покрасим «синим» геометрическое место точек, равноудалённых от прямых a и b, — это две биссектрисы углов, образованных прямыми a и b.

2. Покрасим «жёлтым» геометрическое место точек, равноудалённых от прямых b и c, — это две биссектрисы углов, образованных прямыми b и c.

«Зелёные» точки — точки пересечения этих биссектрис — равноудалены одновременно от прямых a и b и от прямых b и c, а значит, равноудалены от всех трёх прямых.

Две биссектрисы от пары (a, b) и две биссектрисы от пары (b, c) — это четыре прямые. Поскольку три исходные прямые не проходят через одну точку, каждая из двух биссектрис первой пары пересекает каждую из двух биссектрис второй пары, что даёт 4 точки пересечения.

Каждая из этих четырёх точек равноудалена от всех трёх данных прямых.

Ответ. Задача имеет 4 решения.