Номер / задача 725 страница 176, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Построим окружность данного радиуса R с центром O (рис. — чёрная окружность). Выберем на ней произвольную точку A — это первая вершина искомого треугольника.

Вспомним, что сторона равностороннего треугольника, вписанного в окружность радиуса R, равна .

Однако будем действовать методом ГМТ, не используя эту формулу напрямую.

Выберем точку A на окружности. Третья вершина B искомого треугольника должна обладать двумя свойствами одновременно:

1. принадлежать данной описанной окружности с центром O радиуса R (чёрная окружность);
2. принадлежать окружности с центром в точке A радиуса AB.

Но длина стороны нам неизвестна. Воспользуемся другим подходом.

Построение:

1. Проведём окружность с центром O данного радиуса R.

2. Отметим на окружности произвольную точку A.

3. Точка B — вторая вершина — должна одновременно:

   • принадлежать описанной окружности (чёрная окружность);
   • быть удалена от точки A на расстояние, равное стороне равностороннего треугольника.

   Построим окружность с центром A и радиусом R (голубая окружность). Она пересечёт данную окружность в двух точках B и C.

   Действительно, если AB = R и OA = OB = R, то треугольник OAB — равносторонний, значит ∠ AOB = 60°. Аналогично ∠ AOC = 60°, поэтому ∠ BOC = 120°, и дуга BC соответствует центральному углу 120°.

4. Тогда ∠ BOC = 120°, ∠ AOB = 60°, ∠ AOC = 60°, а значит каждая из дуг AB, AC и BC равна 120°, и треугольник ABC — равносторонний, вписанный в данную окружность.

Проверим: OA = OB = OC = R, и из построения ∠ AOB = ∠ AOC = 60°, следовательно ∠ BOC = 360° - 60° - 60° = 240°… Это не подходит — точки B и C оказались по одну сторону.

Исправим: окружность с центром A радиуса R пересекает данную окружность в точках и . Выберем . Затем проведём окружность с центром B радиуса R (ещё одна голубая окружность). Она пересечёт данную окружность в точке A и ещё в одной точке C.

Точка C принадлежит одновременно:

• описанной окружности с центром O радиуса R (чёрная окружность);
• окружности с центром B радиуса R (голубая окружность).

Тогда BC = R, AB = R, и поскольку ∠ AOB = ∠ BOC = 60°, получаем ∠ AOC = 120°. Из равнобедренного треугольника AOC (OA = OC = R, ∠ AOC = 120°) находим … Стороны не равны.

Верное построение: сторона равностороннего треугольника, вписанного в окружность радиуса R, равна . Построим её:

1. Строим окружность с центром O радиуса R. Отмечаем точку A на ней.
2. Строим диаметр AD. Строим окружность с центром D радиуса R — она пересекает данную окружность в точках B и C.
3. Тогда ∠ DOB = 60°, значит ∠ AOB = 120°, и . Аналогично , .

Треугольник ABC — искомый равносторонний треугольник, вписанный в окружность радиуса R.

Треугольник ABC является искомым: он равносторонний и вписан в окружность данного радиуса R.