Номер / задача 724 страница 176, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Построим окружность данного радиуса R и проведём хорду AB, равную данной стороне a искомого треугольника (рис.). Тогда концы хорды являются двумя вершинами искомого треугольника. Третья вершина C должна обладать одновременно двумя свойствами:

1. принадлежит геометрическому месту точек, лежащих на описанной окружности радиуса R (чёрная окружность);
2. принадлежит геометрическому месту точек, удалённых от прямой AB на расстояние h, т. е. одной из двух прямых, параллельных AB и проведённых на расстоянии h от неё (голубые прямые).

В качестве точки C можно выбрать любую точку пересечения описанной окружности с этими прямыми.

Каждая из полученных точек пересечения даёт искомый треугольник ABC, в котором сторона AB = a, высота из C на AB равна h, а треугольник вписан в окружность радиуса R.

Сколько решений может иметь задача?

Каждая из двух прямых, параллельных AB на расстоянии h, может пересекать описанную окружность в 0, 1 или 2 точках. При этом треугольники, симметричные относительно прямой AB, равны между собой, а треугольники, симметричные относительно серединного перпендикуляра к AB, тоже равны. Поэтому с точностью до равенства:

• Задача может иметь 0, 1 или 2 решения.

А именно:

• 0 решений, если обе прямые не пересекают окружность (высота h слишком велика);
• 1 решение, если одна прямая касается окружности или пересекает её в двух точках (дающих равные треугольники), а другая не пересекает;
• 2 решения, если обе прямые пересекают окружность (точки на разных прямых дают неравные треугольники).