Номер / задача 723 страница 176, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Пусть даны две стороны a и b и радиус описанной окружности R. Надо построить треугольник ABC, в котором BC = a, AC = b, а радиус описанной окружности равен R.

Построим окружность радиуса R. С помощью циркуля проведём хорду BC, равную a (для этого нужно a ≤ 2R). Тогда точки B и C — две вершины искомого треугольника. Задача свелась к построению третьей вершины A.

Воспользуемся тем, что точка A обладает сразу двумя свойствами:

1. принадлежит геометрическому месту точек, удалённых от центра описанной окружности на расстояние R, т. е. построенной окружности (чёрная окружность);

2. принадлежит геометрическому месту точек, удалённых от точки C на расстояние b, т. е. окружности с центром в точке C радиуса b (голубая окружность).

В качестве точки A можно выбрать любую из точек пересечения этих двух окружностей (кроме точки B, если она окажется точкой пересечения, т. е. при b = a).

Каждый из треугольников и является искомым, так как в нём BC = a, AC = b, а вершины лежат на окружности радиуса R.

Сколько решений может иметь задача?

Две окружности (описанная окружность радиуса R и окружность с центром C радиуса b) могут пересекаться по-разному. При этом точку B (если она попадает в пересечение) нужно исключить, так как она не даёт треугольника. Поэтому:

• Два решения — если окружности пересекаются в двух точках, ни одна из которых не совпадает с B (или одна совпадает с B, тогда остаётся одна подходящая точка — см. ниже).
• Одно решение — если окружности касаются (и точка касания не совпадает с B), либо если одна из двух точек пересечения совпадает с B.
• Нет решений — если окружности не пересекаются (расстояние между центрами больше суммы радиусов или меньше модуля их разности), либо если a > 2R (хорда не помещается в окружность).

Таким образом, задача может иметь 0, 1 или 2 решения.