Номер / задача 722 страница 176, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Решение. Пусть даны две параллельные прямые 
и 
и секущая 
, пересекающая их в точках P и Q соответственно (рис.).
Центр искомой окружности должен обладать одновременно двумя свойствами:
быть равноудалённым от параллельных прямых
и 
, т. е. принадлежать прямой, параллельной 
и 
и проходящей посередине между ними (это ГМТ, равноудалённых от двух параллельных прямых);быть равноудалённым от прямой
(или 
) и прямой 
, т. е. принадлежать биссектрисе угла, образованного этими прямыми (это ГМТ, равноудалённых от двух пересекающихся прямых).
Построение.
Проведём прямую m, параллельную
и 
и равноудалённую от них (серединную параллельную прямую). Для этого на секущей 
найдём середину M отрезка PQ и проведём через M прямую, параллельную 
.Проведём биссектрисы углов, образованных прямыми
и 
в точке P. Получим две биссектрисы (для смежных углов).Найдём точки пересечения прямой m с этими биссектрисами. Каждая такая точка пересечения — центр O искомой окружности.
Радиус r искомой окружности равен расстоянию от найденного центра O до любой из трёх данных прямых (например, до
), то есть половине расстояния между 
и 
.Проведём окружность с центром O и радиусом r.
Центр O равноудалён от 
и 
(так как лежит на m) и равноудалён от 
и 
(так как лежит на биссектрисе угла между ними). Значит, расстояния от O до всех трёх прямых равны, и построенная окружность касается каждой из них.
Две биссектрисы в точке P дают две точки пересечения с прямой m, поэтому задача имеет два решения (две окружности, касающиеся всех трёх прямых).
Построенная окружность является искомой, так как она касается всех трёх данных прямых. Задача имеет два решения.
