Номер / задача 721 страница 176, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Нам нужно найти центр O искомой окружности. Он обладает сразу двумя свойствами:

1. Так как окружность касается прямой m в точке B, центр O лежит на перпендикуляре к прямой m, проведённом через точку B (это ГМТ центров всех окружностей, касающихся прямой m в точке B).

2. Так как окружность проходит через точки A и B, центр O равноудалён от A и B, т. е. лежит на серединном перпендикуляре отрезка AB (это ГМТ точек, равноудалённых от A и B).

Построение:

1. Проведём прямую p — перпендикуляр к прямой m в точке B.
2. Проведём прямую q — серединный перпендикуляр отрезка AB.
3. Точка пересечения прямых p и q и есть центр O искомой окружности.
4. Проведём окружность с центром O и радиусом OB (или OA, что то же самое).

Построенная окружность является искомой, так как:

• OB = OA, значит окружность проходит через точку A;
• OB ⊥ m, значит окружность касается прямой m в точке B.

Замечание. Если точка A лежит на прямой m (и A ≠ B), то серединный перпендикуляр отрезка AB параллелен перпендикуляру к m в точке B, и задача не имеет решения. Если A = B, то любая окружность, касающаяся m в точке B, является решением. В остальных случаях (когда A не лежит на m) задача имеет единственное решение.