Номер / задача 719 страница 176, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Пусть даны окружность и две пересекающиеся прямые и .

Нужно найти на окружности точку, равноудалённую от обеих прямых.

Воспользуемся методом ГМТ. Искомая точка обладает двумя свойствами одновременно:

1. принадлежит данной окружности (чёрная окружность);
2. принадлежит геометрическому месту точек, равноудалённых от двух пересекающихся прямых, т. е. биссектрисам углов, образованных этими прямыми (голубые прямые).

Известно, что ГМТ, равноудалённых от двух пересекающихся прямых, — это две перпендикулярные прямые, являющиеся биссектрисами вертикальных углов, образованных данными прямыми.

Искомые точки — это точки пересечения данной окружности с этими двумя биссектрисами.

Каждая прямая может пересекать окружность в 0, 1 или 2 точках. Поскольку биссектрис две, задача может иметь 0, 1, 2, 3 или 4 решения в зависимости от взаимного расположения окружности и биссектрис.

Итак, построение сводится к следующему:

1. Проводим биссектрисы углов, образованных данными пересекающимися прямыми (получаем две перпендикулярные прямые).
2. Находим точки пересечения этих биссектрис с данной окружностью — это и есть искомые точки.

Задача может иметь 0, 1, 2, 3 или 4 решения, в зависимости от расположения окружности относительно биссектрис.