Номер / задача 717 страница 175, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Решение. Пусть дано основание a и радиус описанной окружности R.
Построим окружность данного радиуса R с центром O'. Проведём в ней хорду AB, равную основанию a (это возможно при a ≤slant 2R). Тогда A и B — две вершины искомого треугольника. Задача свелась к построению третьей вершины C.
Воспользуемся тем, что точка C обладает сразу двумя свойствами:
- принадлежит построенной окружности с центром O' и радиусом R (так как треугольник вписан в эту окружность);
- принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AB (так как треугольник равнобедренный с основанием AB, а значит CA = CB, и вершина C лежит на серединном перпендикуляре к основанию).
Проведём серединный перпендикуляр p к хорде AB через середину M отрезка AB. Точки пересечения прямой p с окружностью и дают возможные положения вершины C.
Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности, поэтому он всегда пересекает окружность в двух точках 
и 
(при a < 2R). Каждая из них даёт равнобедренный треугольник с основанием AB.
Однако треугольники 
и 
в общем случае не равны (один — остроугольный, другой — тупоугольный), поэтому оба являются решениями.
Исследование числа решений:
- Если a < 2R, то серединный перпендикуляр пересекает окружность в двух различных точках
и 
, причём обе не совпадают с A и B. Задача имеет два решения. - Если a = 2R, то AB — диаметр, и серединный перпендикуляр пересекает окружность в двух точках, но каждый из получившихся треугольников — прямоугольный равнобедренный. Эти два треугольника равны (симметричны относительно AB), поэтому задача имеет одно решение.
- Если a > 2R, то хорду длины a провести невозможно. Задача не имеет решений.
Ответ: задача может иметь два решения (при a < 2R), одно решение (при a = 2R) или не иметь решений (при a > 2R).
