Номер / задача 716 страница 175, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Пусть дана боковая сторона длины a и медиана длины m, проведённая к боковой стороне.

Нужно построить равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = BC = a (боковые стороны), а AM — медиана, проведённая к боковой стороне BC, причём AM = m, где M — середина BC.

Проведём произвольную прямую и отложим на ней отрезок AB = a (рис.). Задача сводится к нахождению вершины C.

Воспользуемся тем, что точка C обладает сразу двумя свойствами:

1. Точка C принадлежит окружности с центром в точке A радиуса a, так как AC — основание, а BC = a...

Подождём — нужно аккуратнее. AB = BC = a — боковые стороны. Медиана AM проведена к стороне BC, значит M — середина BC.

Построим сторону AB = a. Ищем вершину C.

Заметим, что M — середина BC, и AM = m. Поскольку BC = a, точка M удалена от B на расстояние .

Шаг 1. Проведём произвольную прямую и отложим отрезок AB = a.

Шаг 2. Найдём точку M. Она обладает двумя свойствами одновременно:

1. M принадлежит окружности с центром B радиуса (так как M — середина BC, а BC = a);

2. M принадлежит окружности с центром A радиуса m (так как AM = m).

Строим эти две окружности. В качестве M берём любую из точек их пересечения.

Шаг 3. Точка C — такая точка, что M является серединой BC. Поэтому C симметрична точке B относительно M: откладываем от M отрезок MC = BM на продолжении BM за точку M.

Полученный треугольник ABC — искомый, так как AB = a, , и медиана AM = m.

Треугольник ABC — искомый равнобедренный треугольник с боковой стороной a и медианой к боковой стороне, равной m.