Номер / задача 714 страница 175, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Нам дан прямоугольный треугольник ABC с ∠ C = 90°. Нужно на катете AC найти точку D такую, что расстояние от D до прямой AB равно CD.

Воспользуемся методом ГМТ. Точка D обладает сразу двумя свойствами:

1. Точка D лежит на катете AC — это отрезок (первое ГМТ, покрасим его «синим»).

2. Расстояние от точки D до прямой AB равно CD. Обозначим расстояние от D до прямой AB через h, тогда условие: h = CD. Заметим, что CD — это расстояние от точки D до точки C. Значит, точка D принадлежит геометрическому месту точек, равноудалённых от точки C и от прямой AB.

ГМТ, равноудалённых от данной точки и данной прямой, — это парабола с фокусом C и директрисой AB. Однако мы можем рассуждать конструктивно.

Пусть CD = d. Тогда точка D лежит на AC на расстоянии d от C, и одновременно расстояние от D до прямой AB равно d. Это значит, что точка D лежит на окружности с центром C радиуса d и одновременно на полосе точек, удалённых от AB на расстояние d, т.е. на прямой, параллельной AB на расстоянии d от неё (со стороны точки C).

Но можно поступить проще. Опустим из точки D перпендикуляр DH на прямую AB. По условию DH = CD, значит треугольник CDH — равнобедренный с CD = DH.

Поскольку ∠ C = 90°, а D лежит на AC, точка D лежит на луче CA. Прямая DH ⊥ AB. Рассмотрим угол ∠ CDH: так как DH ⊥ AB и ∠ ACB = 90°, то ∠ CDH = 180° - 90° - ∠ DBC... Проще использовать построение напрямую.

Построение. Проведём прямую, параллельную AB, проходящую через точку C. Поскольку ∠ ACB = 90°, а нам нужна прямая, параллельная AB и проходящая через C, — обозначим её .

Заметим: расстояние от любой точки D на отрезке AC до прямой AB зависит от положения D. Используем метод ГМТ напрямую:

• ГМТ 1 (синее): катет AC — множество допустимых положений точки D.
• ГМТ 2 (жёлтое): множество точек, для которых расстояние до прямой AB равно расстоянию до точки C, — это парабола с фокусом C и директрисой AB.

Точка D — пересечение отрезка AC с этой параболой («зелёная» точка).

Конструктивное построение с помощью циркуля и линейки:

Проведём биссектрису угла ABC. Она пересекает катет AC в точке D. Докажем, что эта точка искомая.

В треугольнике ABD: DH — расстояние от D до AB, DC — расстояние от D до BC... Нет, нужно аккуратнее.

Опустим из D перпендикуляр DH на AB. Так как ∠ C = 90°, то DC ⊥ BC. Биссектриса угла B — это ГМТ, равноудалённых от прямых BA и BC. Значит, для точки D на биссектрисе: DH = DK, где DK ⊥ BC. Но D лежит на AC, а AC ⊥ BC, поэтому DK = DC.

Итого: DH = DK = DC. ✓

Построение: проводим биссектрису угла B треугольника ABC. Точка D пересечения этой биссектрисы с катетом AC — искомая.

Доказательство. Биссектриса угла B — это ГМТ, равноудалённых от прямых BA и BC. Поэтому для точки D, лежащей на биссектрисе:

где DH ⊥ AB, DK ⊥ BC.

Но точка D лежит на прямой AC, а AC ⊥ BC (так как ∠ C = 90°), поэтому DK = DC.

Следовательно, DH = DC, что и требовалось.

Ответ: точка D — это точка пересечения биссектрисы угла B треугольника ABC с катетом AC.