Номер / задача 710 страница 175, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Пусть даны прямая l, точка A и отрезок длины r (радиус искомой окружности). Надо построить окружность радиуса r с центром на прямой l, проходящую через точку A.

Задача сводится к нахождению центра O искомой окружности. Воспользуемся тем, что точка O обладает сразу двумя свойствами:

1. принадлежит геометрическому месту точек, удалённых от точки A на расстояние r, т. е. окружности с центром в точке A радиуса r (чёрная окружность);
2. принадлежит данной прямой l (голубая прямая).

В качестве точки O можно выбрать любую из точек пересечения окружности с центром A радиуса r и прямой l.

Затем проводим окружность с центром O радиуса r — она и будет искомой.

Исследование. Прямая и окружность могут пересекаться в двух точках, касаться (одна точка) или не пересекаться. Поэтому:

• если расстояние от точки A до прямой l меньше r — задача имеет два решения ( и );
• если расстояние от точки A до прямой l равно r — задача имеет единственное решение;
• если расстояние от точки A до прямой l больше r — задача не имеет решений.

Каждая из двух зелёных окружностей (с центрами и ) является искомой, так как имеет радиус r, проходит через точку A, и её центр лежит на прямой l.