Номер / задача 708 страница 175, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: Точки $B$ и $C$ принадлежат разным сторонам угла $A$. Постройте точку $D$, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и такую, что $DC = BC$. Сколько решений может иметь задача?
Решение. Дан угол A, точки B и C принадлежат разным его сторонам. Нужно построить точку D внутри угла, которая:
- равноудалена от сторон угла,
- удалена от точки C на расстояние BC.
Воспользуемся методом ГМТ.
Свойство 1. Геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла, — это биссектриса угла A (на рисунке — чёрная прямая).
Свойство 2. Геометрическое место точек, удалённых от точки C на расстояние BC, — это окружность с центром C и радиусом BC (на рисунке — голубая окружность).
Искомая точка D — это пересечение биссектрисы угла A с окружностью с центром C радиуса BC.
Построение:
- Проведём биссектрису угла A.
- Построим окружность с центром C и радиусом BC.
- Точки пересечения биссектрисы с окружностью, лежащие внутри угла, — искомые точки D.
Количество решений. Биссектриса — это луч, а окружность может пересекать луч в 0, 1 или 2 точках. Поэтому задача может иметь 0, 1 или 2 решения в зависимости от взаимного расположения биссектрисы и окружности:
- два решения, если биссектриса пересекает окружность в двух точках;
- одно решение, если биссектриса касается окружности или одна из точек пересечения совпадает с вершиной A;
- ни одного решения, если биссектриса не пересекает окружность.
