User Name N
ГДЗ 7 класс Геометрия Мерзляк, Полонский, Якир Номер 707

Номер / задача 707 страница 175, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: Точки $B$ и $C$ принадлежат разным сторонам угла $A$, причём $AB \neq AC$. Постройте точку $M$, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и такую, что $MB = MC$.

Решение. Точка M должна обладать одновременно двумя свойствами:

  1. M равноудалена от сторон угла A, т. е. принадлежит биссектрисе угла A (это ГМТ, равноудалённых от сторон угла);

  2. M равноудалена от точек B и C, т. е. MB = MC, значит, M принадлежит серединному перпендикуляру отрезка BC (это ГМТ, равноудалённых от двух данных точек).

Построение:

  1. Проведём биссектрису угла A.
  2. Построим отрезок BC и проведём его серединный перпендикуляр.
  3. Точка пересечения биссектрисы и серединного перпендикуляра и есть искомая точка M.

Точка M является искомой, так как она лежит на биссектрисе угла A (значит, равноудалена от его сторон и принадлежит углу) и лежит на серединном перпендикуляре отрезка BC (значит, MB = MC).

Заметим, что поскольку AB ≠ AC, биссектрисса угла A и серединный перпендикуляр к BC не параллельны (биссектриса проходит через вершину A, а серединный перпендикуляр не проходит через A при AB ≠ AC), поэтому они пересекаются, и решение существует.

Искомая точка M — точка пересечения биссектрисы угла A и серединного перпендикуляра отрезка BC.

Номер 707