Номер / задача 705 страница 175, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Решение. Пусть дана прямая m и точки A, B на ней. Нужно найти точку, обладающую одновременно двумя свойствами:
- удалена от прямой m на расстояние a;
- равноудалена от точек A и B.
Воспользуемся методом ГМТ.
Первое свойство. Геометрическое место точек, удалённых от прямой m на расстояние a, — это две прямые, параллельные m и расположенные по обе стороны от неё на расстоянии a (обозначим их 
и 
).
Второе свойство. Геометрическое место точек, равноудалённых от точек A и B, — это серединный перпендикуляр к отрезку AB, т. е. прямая p, проходящая через середину отрезка AB перпендикулярно прямой m.
Искомые точки — это точки пересечения прямой p с прямыми 
и 
.
Прямая p перпендикулярна прямой m, а прямые 
и 
параллельны m, значит p пересекает каждую из них ровно в одной точке. Получаем две точки: 
и 
, симметричные относительно прямой m.
Задача имеет два решения (при a > 0 и A ≠ B).
Ответ. Задача имеет два решения — это точки пересечения серединного перпендикуляра к отрезку AB с двумя прямыми, параллельными m и отстоящими от неё на расстояние a.
