Номер / задача 703 страница 172, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Доказательство

Пусть равносторонний треугольник T полностью накрыт двумя равносторонними треугольниками и разных размеров. Обозначим стороны этих треугольников a, и соответственно, причём .

Без ограничения общности будем считать, что .

Покажем, что , то есть большего треугольника достаточно для покрытия.

Предположим противное: пусть , тогда и , то есть оба покрывающих треугольника имеют сторону, строго меньшую стороны a исходного треугольника.

Рассмотрим три вершины A, B, C исходного равностороннего треугольника T. Каждая из этих вершин должна быть накрыта хотя бы одним из треугольников или . По принципу Дирихле, один из двух покрывающих треугольников накрывает не менее двух вершин исходного треугольника. Пусть, например, треугольник (где i = 1 или i = 2) накрывает вершины A и B.

Тогда отрезок AB длины a целиком содержится в треугольнике (так как равносторонний треугольник — выпуклая фигура, и вместе с любыми двумя своими точками содержит соединяющий их отрезок). Но длина отрезка AB равна a, а наибольшее расстояние между двумя точками равностороннего треугольника со стороной равно (это длина его стороны, она же — диаметр треугольника).

Значит, . Но по предположению и — противоречие.

Следовательно, предположение неверно, и .

Раз , то равносторонний треугольник со стороной может полностью накрыть равносторонний треугольник T со стороной a (достаточно совместить центры и подходящим образом расположить ).

Таким образом, для покрытия исходного треугольника хватило бы одного (большего) из двух покрывающих треугольников.