Номер / задача 701 страница 172, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Учебник: Вентана-Граф, 2023
Условие: Серединный перпендикуляр гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ пересекает катет $BC$ в точке $M$. Известно, что $\angle MAC : \angle MAB = 8 : 5$. Найдите острые углы треугольника $ABC$.
Пусть ∠ BAC = α — острый угол при вершине A прямоугольного треугольника ABC, где ∠ C = 90°.
Серединный перпендикуляр гипотенузы AB проходит через её середину. Поскольку точка M лежит на серединном перпендикуляре гипотенузы AB, то MA = MB (любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка).
Треугольник MAB — равнобедренный с основанием AB, поэтому:
Обозначим ∠ MAB = β. Тогда ∠ MBA = β.
Поскольку M лежит на катете BC, то ∠ MBA = ∠ ABC, значит ∠ ABC = β.
В прямоугольном треугольнике ABC:
Теперь найдём ∠ MAC:
По условию:
Отсюда:
Подставим в уравнение α + β = 90°:
Тогда:
Проверка: ∠ MAC = 65° - 25° = 40°, ∠ MAB = 25°, отношение 40° : 25° = 8 : 5. ✓
Ответ: острые углы треугольника ABC равны 65° и 25°.
