Номер / задача 699 страница 171, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: В треугольнике $ABC$ $AB = BC$, отрезки $AE$ и $CF$ — биссектрисы этого треугольника. Докажите, что $EF \parallel AC$.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник ABC, в котором AB = BC (треугольник равнобедренный с основанием AC). Отрезок AE — биссектриса угла A, отрезок CF — биссектриса угла C.

Так как AB = BC, то треугольник ABC — равнобедренный, и углы при основании равны:

Поскольку AE — биссектриса угла A, а CF — биссектриса угла C, то:

Так как ∠ BAC = ∠ BCA, то ∠ BAE = ∠ BCF.

Рассмотрим треугольники ABE и CBF:

∠ ABE = ∠ CBF (общий угол B),
AB = CB (по условию),
∠ BAE = ∠ BCF (доказано выше).

Следовательно, △ ABE = △ CBF по двум углам и стороне между ними (по стороне и прилежащим углам). Отсюда:

Таким образом, треугольник BEF — равнобедренный с BE = BF, поэтому:

Теперь заметим, что треугольник BAC — равнобедренный с BA = BC, поэтому ∠ BAC = ∠ BCA. Треугольник BEF — равнобедренный с BE = BF, поэтому ∠ BEF = ∠ BFE.

Так как ∠ B — общий угол треугольников BAC и BEF, то:

Значит, ∠ BEF = ∠ BAC.

Углы ∠ BEF и ∠ BAC — это углы, образованные прямыми EF и AC при секущей AE (прямая через точки A и E). Поскольку эти углы равны и являются соответственными, то:

Что и требовалось доказать.

Номер 699