Номер / задача 698 страница 171, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Заметим, что 54° = 3 · 18°. Значит, нужно построить угол 18°, а затем отложить его три раза, чтобы убедиться, что мы делим данный угол на три равные части.

Однако воспользуемся более простым наблюдением:

причём 36° = 2 · 18°, так что задача сводится к построению угла 18°.

Но ещё проще заметить, что:

Применим другой подход. Поскольку 54° = 3 · 18°, нам нужно разделить данный угол на три равные части по 18° каждая.

Ключевое наблюдение: мы умеем с помощью циркуля и линейки строить угол, равный данному, и проводить биссектрису угла (делить угол пополам).

Разделим угол 54° на три части так:

1. Проведём биссектрису данного угла в 54°. Получим два угла по 27°.

2. Заметим, что 27° = 18° + 9°, а 27° - 18° = 9° — это не даёт равных частей напрямую.

Воспользуемся тем, что угол 54° — это угол правильного десятиугольника, делённый пополам, и связан с построением правильных многоугольников.

Простой способ:

Угол 60° легко построить (как угол равностороннего треугольника). Тогда:

Построим угол 18° следующим образом:

1. Построим угол 60° (с помощью равностороннего треугольника).
2. Проведём биссектрису угла 60° — получим угол 30°.
3. Проведём биссектрису угла 30° — получим угол 15°.
4. Но 15° ≠ 18°, поэтому этот путь не подходит напрямую.

Правильный путь — построение через разность:

1. Построим угол, равный данному (54°), с вершиной O и стороной OK.
2. Построим угол 36°: для этого построим угол 72° (центральный угол правильного пятиугольника, который строится циркулем и линейкой) и проведём его биссектрису.
3. Отложим от луча OK угол 18°: построим угол 36° и проведём его биссектрису, получив 18°.
4. Отложим от луча OK угол 36° (удвоенный угол 18°).

Таким образом, лучи, проведённые под углами 18° и 36° от стороны OK, разделят угол 54° на три равные части по 18°.

Подробный алгоритм:

1. Построим правильный пятиугольник (это возможно циркулем и линейкой). Центральный угол правильного пятиугольника равен 72°.
2. Проведём биссектрису угла 72° — получим угол 36°.
3. Проведём биссектрису угла 36° — получим угол 18°.
4. От одной стороны данного угла 54° отложим угол 18° (способом, описанным в параграфе — построение угла, равного данному). Получим первый луч.
5. От того же луча отложим угол 36°. Получим второй луч.
6. Два построенных луча делят угол 54° на три угла по 18°.

Доказательство: 18° + 18° + 18° = 54°, и каждая из трёх частей равна 18°, значит, угол разделён на три равные части.

Ответ: нужно с помощью построения правильного пятиугольника получить угол 72°, последовательным делением пополам получить угол 18°, а затем отложить от одной стороны данного угла углы 18° и 36°, разделив угол 54° на три равные части по 18°.