Номер / задача 697 страница 171, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Решение. Пусть даны три точки D, E, F, в которых вписанная окружность касается сторон треугольника. Надо построить треугольник ABC, вписанная окружность которого касается его сторон в этих точках.
Вспомним ключевое свойство: центр вписанной окружности равноудалён от всех трёх сторон, а расстояние от центра до точки касания равно радиусу. Значит, центр вписанной окружности — это центр окружности, проходящей через точки D, E, F.
Построение.
По трём данным точкам D, E, F построим окружность, проходящую через них (это окружность, вписанная в искомый треугольник). Для этого:
- проведём отрезки DE и EF;
- построим серединный перпендикуляр к отрезку DE;
- построим серединный перпендикуляр к отрезку EF;
- точку пересечения серединных перпендикуляров обозначим O — это центр вписанной окружности, а OD = OE = OF = r — её радиус.
Проведём окружность с центром O и радиусом r = OD.
Через точку D проведём прямую, перпендикулярную OD (касательная к окружности в точке D).
Через точку E проведём прямую, перпендикулярную OE (касательная к окружности в точке E).
Через точку F проведём прямую, перпендикулярную OF (касательная к окружности в точке F).
Точки пересечения этих трёх касательных обозначим A, B, C — это вершины искомого треугольника.
Доказательство. Окружность с центром O и радиусом r вписана в треугольник ABC, поскольку каждая сторона треугольника является касательной к этой окружности (по построению прямые перпендикулярны радиусам в точках D, E, F). Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, — значит, окружность касается сторон треугольника именно в данных точках D, E, F.
Исследование. Три точки D, E, F, не лежащие на одной прямой, определяют единственную окружность. Касательные в трёх точках окружности определяют единственный треугольник (при условии, что точки не образуют вырожденной конфигурации). Следовательно, задача имеет единственное решение.
Задача имеет единственное решение.
