Номер / задача 696 страница 171, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Пусть даны отрезки длиной a, h и m, где a — сторона треугольника, h — высота, проведённая к этой стороне, m — медиана, проведённая к этой же стороне, причём h ≤slant m.

Надо построить треугольник ABC, в котором BC = a, AH = h (высота из A на BC), AM = m (медиана из A к BC, где M — середина BC).

Построение.

1. Проведём прямую и отложим на ней отрезок BC = a.

2. Найдём середину M отрезка BC (построение середины отрезка с помощью циркуля и линейки — стандартная задача).

3. В точке M восстановим перпендикуляр p к прямой BC.

4. Проведём окружность с центром M и радиусом m. Эта окружность пересечёт перпендикуляр p в двух точках. Обозначим одну из них A.

Доказательство. Точка A лежит на перпендикуляре к BC, проведённом через середину M отрезка BC, поэтому AM — медиана треугольника ABC и AM = m. Поскольку A лежит на перпендикуляре к BC в точке M, высота из A на прямую BC — это расстояние от A до прямой BC.

Однако высота AH = h не обязательно совпадает с AM, если h ≠ m. Нужно уточнить построение: точка A должна находиться на расстоянии h от прямой BC и на расстоянии m от точки M.

Уточним построение.

Построение (уточнённое).

1. Проведём прямую l и отложим на ней отрезок BC = a.

2. Найдём середину M отрезка BC.

3. Проведём прямую l', параллельную l, на расстоянии h от неё. Для этого в любой точке прямой l восстановим перпендикуляр и отложим на нём отрезок длиной h; через полученную точку проведём прямую, параллельную l.

4. Проведём окружность с центром M и радиусом m. Она пересечёт прямую l' в точках и (при условии m ≥slant h, что всегда выполнено, так как медиана не короче высоты, проведённой к той же стороне).

5. Соединим (или ) с B и C.

Доказательство. Треугольник — искомый, так как:

• BC = a по построению;
• точка лежит на прямой l', параллельной BC и удалённой от неё на расстояние h, поэтому высота из на BC равна h;
• M — середина BC, а (точка лежит на окружности с центром M и радиусом m), поэтому медиана из к стороне BC равна m.

Аналогично, треугольник тоже является искомым.

Число решений. Точки и расположены симметрично относительно перпендикуляра к BC в точке M, и полученные треугольники равны. Кроме того, прямую l' можно провести по обе стороны от l, но и это даёт равные треугольники. Таким образом, задача имеет единственное решение (при условии h ≤slant m). Если h > m, задача не имеет решений; если h = m, медиана совпадает с высотой и треугольник равнобедренный (одно решение).