Номер / задача 695 страница 171, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение

Пусть даны радиус вписанной окружности r и отрезки a и b, на которые точка касания вписанной окружности делит одну из сторон треугольника.

Анализ. Рассмотрим треугольник ABC, в который вписана окружность с центром I и радиусом r. Пусть точка касания M делит сторону AB на отрезки AM = a и MB = b.

Из свойства касательных, проведённых из одной точки к окружности, следует, что если точки касания на сторонах AB, BC, CA — это M, N, P соответственно, то:

Центр вписанной окружности I лежит на расстоянии r от каждой стороны. Рассмотрим точку касания M на стороне AB. Тогда IM ⊥ AB и IM = r.

Кроме того, в прямоугольном треугольнике AIM: , а в прямоугольном треугольнике BIM: .

План построения.

1. Проведём прямую и отложим на ней отрезок AB = a + b. На этом отрезке отметим точку M так, что AM = a, MB = b.

2. В точке M восставим перпендикуляр к прямой AB и отложим на нём отрезок MI = r. Точка I — центр вписанной окружности.

3. Проведём окружность с центром I и радиусом r — это вписанная окружность.

4. Из точки A проведём касательную к этой окружности (отличную от прямой AB). Для этого проведём окружность с центром A и радиусом ; точка I уже построена, поэтому радиус AI задан как отрезок. Касательная из A к окружности (I, r): строим окружность на диаметре AI, она пересекает окружность (I, r) в точке P; прямая AP — сторона AC.

5. Аналогично из точки B проведём касательную к окружности (I, r) (отличную от прямой AB). Строим окружность на диаметре BI, она пересекает окружность (I, r) в точке N; прямая BN — сторона BC.

6. Точка пересечения прямых AP и BN — вершина C.

Доказательство. По построению IM ⊥ AB и IM = r, значит прямая AB касается окружности (I, r) в точке M. Прямые AC и BC также касаются этой окружности (по построению касательных). Следовательно, окружность с центром I и радиусом r вписана в треугольник ABC, точка касания M делит сторону AB на отрезки AM = a и MB = b.

Исследование. Перпендикуляр в точке M можно провести по обе стороны от прямой AB, что даёт две точки для I. Каждая из них порождает треугольник, но эти треугольники равны (симметричны относительно AB). Касательные из точек A и B (отличные от AB) выбираются так, чтобы они пересекались по одну сторону от AB с точкой I.

Задача имеет единственное решение.