Номер / задача 694 страница 171, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение

Пусть даны отрезок длины a, угол α и отрезок длины r. Надо построить треугольник ABC, в котором BC = a, ∠ B = α, а радиус вписанной окружности равен r.

Анализ. Вписанная окружность касается стороны BC в некоторой точке и имеет центр I, расположенный на расстоянии r от каждой стороны треугольника. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла B. Расстояние от центра I до прямой BC равно r, то есть перпендикуляр из I на BC имеет длину r.

Построение.

1. Проведём прямую и отложим на ней отрезок BC = a.

2. Построим в точке B угол, равный данному углу α, одной из сторон которого является луч BC. Вторая сторона этого угла — луч BA.

3. Построим биссектрису угла B (угла α). Центр вписанной окружности лежит на этой биссектрисе.

4. Проведём прямую, параллельную BC, на расстоянии r от неё (по ту же сторону, что и строящийся треугольник). Для этого:

   • восстановим перпендикуляр к BC в произвольной точке;
   • отложим на нём отрезок длины r;
   • через полученную точку проведём прямую, параллельную BC.

5. Точка пересечения биссектрисы угла B с этой прямой — центр вписанной окружности I.

6. Проведём окружность с центром I и радиусом r — это вписанная окружность.

7. Из точки C проведём касательную к этой окружности (отличную от прямой BC). Точка пересечения этой касательной с лучом BA — вершина A.

Треугольник ABC — искомый.

Доказательство. По построению BC = a. Угол B равен α, так как он построен равным данному углу. Окружность с центром I и радиусом r касается стороны BC (так как расстояние от I до BC равно r), касается стороны AB (так как I лежит на биссектрисе угла B, значит равноудалён от сторон угла B, то есть расстояние от I до BA тоже равно r), и касается стороны AC (так как прямая AC проведена как касательная к окружности из точки C). Следовательно, окружность радиуса r вписана в треугольник ABC.

Исследование. Прямая, параллельная BC на расстоянии r, пересекает биссектрису угла B в одной точке (при r > 0), поэтому центр I определяется однозначно. Из точки C к окружности можно провести две касательные: одна из них — прямая BC, вторая даёт сторону CA. Таким образом, задача имеет единственное решение (при условии, что луч BA и касательная из C пересекаются, то есть при допустимых значениях данных).