Номер / задача 693 страница 171, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Решение. Пусть даны отрезок длины a (катет) и отрезок длины r (радиус вписанной окружности). Надо построить прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠ C = 90°, BC = a, а радиус вписанной окружности равен r.
Анализ. Вспомним, что для прямоугольного треугольника с катетами a, b и гипотенузой c радиус вписанной окружности выражается формулой:
Отсюда 2r = a + b - c, то есть c = a + b - 2r.
Также заметим, что если вписанная окружность касается катета BC в точке, то расстояние от вершины прямого угла C до точки касания равно r. Действительно, для прямоугольного треугольника расстояние от вершины прямого угла до центра вписанной окружности по каждому катету равно r, поэтому b = второй катет можно найти, а можно провести построение напрямую.
План построения:
Проведём две перпендикулярные прямые m и n, пересекающиеся в точке C — это вершина прямого угла.
На прямой m отложим отрезок CB = a — это данный катет.
На прямой n от точки C отложим отрезок CD = r. На прямой m от точки C отложим отрезок CE = r (в сторону точки B). Центр вписанной окружности I находится на расстоянии r от обоих катетов, то есть в точке с координатами (r, r) относительно C.
Проведём прямую через точку B касательную к окружности с центром I и радиусом r (отличную от прямой m). Точка пересечения этой касательной с прямой n даст вершину A.
Реализация построения:
Проводим перпендикулярные прямые m и n с точкой пересечения C.
На прямой m откладываем CB = a.
На прямой n откладываем CF = r, на прямой m откладываем CG = r (в сторону B). Строим точку I как пересечение перпендикуляра к m в точке G и перпендикуляра к n в точке F. Получаем центр вписанной окружности I.
Проводим окружность с центром I и радиусом r.
Проводим окружность с центром B и радиусом BI. Из прямоугольного треугольника BIC:
.Проводим прямую из B, касательную к окружности с центром I радиуса r. Для этого: строим окружность на BI как на диаметре (находим середину BI, проводим окружность с этим диаметром), её пересечение с окружностью (I, r) даёт точку касания T. Прямая BT пересекает прямую n в точке A.
Треугольник ABC — искомый.
Доказательство. По построению ∠ C = 90°, BC = a. Окружность с центром I и радиусом r касается обоих катетов (так как I удалён от m и n на расстояние r) и касается гипотенузы AB (по построению BT — касательная). Значит, эта окружность вписана в треугольник ABC, и её радиус равен r.
Исследование. Задача имеет решение при r < a (иначе центр I не попадает внутрь треугольника). Касательная из B к окружности даёт два варианта, но только один из них пересекает луч n по нужную сторону от C. Поскольку симметричные решения равны, задача имеет единственное решение.
