Номер / задача 692 страница 171, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Пусть даны два отрезка, длины которых равны и , и угол α — это угол при вершине A, из которой проведена высота .

Нужно построить треугольник ABC, в котором , , ∠ A = α.

План построения.

Заметим, что высота из вершины B на сторону AC равна , а значит точка B находится на расстоянии от прямой AC. Также нам известен угол A и высота из вершины A.

1. Строим угол, равный α, с вершиной в точке A. Пусть его стороны — лучи AM и AN.

2. Из точки A проводим высоту (перпендикуляр) к стороне BC. Но сторона BC нам пока неизвестна. Поступим иначе.

3. На одной из сторон угла (луче AN) выбираем произвольную точку — это будет направление стороны AC. Проведём прямую, параллельную лучу AN (т.е. прямой AC), на расстоянии от неё. Для этого:

   • восстанавливаем перпендикуляр к лучу AN из точки A;
   • на этом перпендикуляре (по ту сторону, где лежит луч AM) откладываем отрезок длины , получаем точку P;
   • через P проводим прямую p, параллельную AN.

4. Точка B лежит на луче AM и одновременно на прямой p. Находим точку B как пересечение луча AM с прямой p.

5. Теперь нужно найти точку C на луче AN так, чтобы высота из A на BC равнялась . Для этого:

   • из точки A опускаем перпендикуляр на прямую BC; его длина должна равняться ;
   • проводим окружность с центром A и радиусом ; она пересекает прямую BC в точке (основание высоты);
   • через проводим прямую BC, которая уже определена направлением ;
   • но прямая BC проходит через B, и , .

   Итак: проводим окружность с центром A радиуса . Из точки B проводим касательную к этой окружности — это и будет прямая BC (поскольку высота из A на BC равна , значит расстояние от A до прямой BC равно , т.е. прямая BC касается окружности).

6. Находим точку C как пересечение этой касательной (прямой BC) с лучом AN.

Построение:

1. Строим угол ∠ MAN = α с вершиной A.
2. Строим прямую, параллельную AN, на расстоянии от неё (со стороны луча AM). Пересечение этой прямой с лучом AM даёт точку B.
3. Строим окружность с центром A и радиусом .
4. Из точки B проводим касательную к этой окружности (с помощью циркуля и линейки).
5. Пересечение касательной с лучом AN даёт точку C.
6. Треугольник ABC — искомый.

Доказательство. По построению ∠ A = α. Расстояние от B до прямой AC равно , значит высота . Прямая BC касается окружности с центром A радиуса , значит расстояние от A до BC равно , т.е. .

Число решений. Из точки B к окружности можно провести две касательные, каждая из которых может пересечь луч AN в точке C. Это даёт два решения (симметричных относительно прямой AB). Однако если одна из касательных не пересекает луч AN (а пересекает его продолжение за точку A), то соответствующий треугольник не образуется.

Задача может иметь два решения (в общем случае), одно решение или не иметь решений (если , т.е. касательную провести невозможно, что происходит при несовместных данных).