Номер / задача 691 страница 171, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Решение. Пусть дан угол α и два отрезка длиной и — высоты, проведённые из вершин B и C треугольника ABC соответственно (т.е. — высота на сторону AC, — высота на сторону AB). Требуется построить треугольник ABC, в котором ∠ A = α, высота из B равна , высота из C равна .

План построения.

1. Построим угол, равный α, с вершиной A. Обозначим его стороны (лучи) m и n.

2. На стороне n (луч AB) нужно найти точку — основание высоты из C. Поскольку и , построим прямую, перпендикулярную лучу n и удалённую от него на расстояние . Для этого от произвольной точки на луче n восстановим перпендикуляр и отложим на нём отрезок длиной . Через полученную точку проведём прямую, параллельную лучу n. Пересечение этой прямой с лучом m даст вершину C.

   Подробнее: восстановим перпендикуляр к прямой n в точке A, отложим на нём (в сторону луча m) отрезок . Проведём через H прямую p, параллельную n. Точка пересечения прямой p с лучом m — это вершина C (так как расстояние от C до прямой AB равно , что и означает ).

3. Аналогично найдём вершину B. Расстояние от B до прямой AC (луч m) равно . Восстановим перпендикуляр к прямой m в точке A, отложим на нём (в сторону луча n) отрезок . Проведём через H' прямую q, параллельную m. Точка пересечения прямой q с лучом n — это вершина B.

4. Соединим точки B и C. Треугольник ABC — искомый.

Доказательство. По построению ∠ BAC = α. Расстояние от точки C до прямой AB равно , значит высота из C на сторону AB равна . Расстояние от точки B до прямой AC равно , значит высота из B на сторону AC равна . Следовательно, треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование. Прямая p пересекает луч m в одной точке (при α ≠ 0° и α ≠ 180°), и прямая q пересекает луч n в одной точке. Точки C и B определяются однозначно (берём те точки пересечения, которые лежат на лучах, исходящих из A). Поэтому задача имеет единственное решение.

Задача имеет одно решение.