Номер / задача 690 страница 171, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Решение. Пусть даны отрезок длины a, угол α и отрезок длины m (длина медианы). Надо построить треугольник ABC, в котором BC = a, ∠ B = α, а медиана AM проведена к стороне BC (где M — середина BC).
План построения.
Строим отрезок BC, равный a.
Делим отрезок BC пополам — находим точку M (середину BC). Для этого строим две окружности радиуса a с центрами B и C; прямая через точки их пересечения пересекает BC в точке M.
При вершине B строим угол, равный α, одна сторона которого — луч BC (по алгоритму из параграфа: построение угла, равного данному).
Строим окружность с центром M и радиусом m. Точка A — пересечение этой окружности со стороной построенного угла (лучом из B, отличным от BC).
Соединяем точки A, B, C. Треугольник ABC — искомый.
Доказательство. В построенном треугольнике ABC:
- BC = a по построению (шаг 1);
- ∠ B = α по построению (шаг 3, угол равен данному);
- M — середина BC по построению (шаг 2), а AM = m, так как точка A лежит на окружности с центром M и радиусом m (шаг 4).
Следовательно, треугольник ABC — искомый.
Количество решений. Точка A — пересечение луча из B (сторона угла α, лежащая в полуплоскости) с окружностью с центром M радиуса m. Луч может пересечь окружность в двух точках, одной точке или не пересечь вовсе.
- Два решения, если луч пересекает окружность в двух точках (обе по одну сторону от прямой BC).
- Одно решение, если луч касается окружности или одна из точек пересечения совпадает с B (вырожденный случай).
- Нет решений, если луч не пересекает окружность (медиана слишком мала или слишком велика при данных a и α).
Таким образом, задача может иметь два решения, одно решение или не иметь решений в зависимости от соотношения между a, α и m.
