Номер / задача 689 страница 171, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Решение. Пусть даны два отрезка длиной a и b и угол α, причём угол α противолежит стороне a. Надо построить треугольник ABC, в котором BC = a, AC = b, ∠ B = α.
Построение.
Построим угол, равный α, с вершиной в точке B (используя способ построения угла, равного данному, описанный в параграфе). Одну сторону этого угла обозначим лучом BK, другую — лучом BL.
На луче BK отложим отрезок BC = a. Получим точку C.
Проведём окружность с центром в точке C и радиусом, равным b. Точки пересечения этой окружности с лучом BL дадут вершину A искомого треугольника.
Доказательство. В построенном треугольнике ABC по построению имеем: ∠ B = α (угол построен равным данному), BC = a (отложен на стороне угла), AC = b (точка A лежит на окружности радиуса b с центром C). Следовательно, треугольник ABC — искомый.
Исследование (сколько решений может иметь задача).
Число решений зависит от того, как окружность с центром C радиуса b пересекает луч BL.
Опустим перпендикуляр из точки C на прямую BL. Его длина равна h = a sin α.
Нет решений, если b < a sin α (окружность не достигает луча BL).
Одно решение, если:
- b = a sin α (окружность касается луча — прямоугольный треугольник), или
- b ≥slant a (окружность пересекает луч в двух точках, но только одна из них лежит на луче BL, а не на его продолжении за точку B), или
- α ≥slant 90° и b > asinα (одна точка пересечения оказывается по другую сторону от B).
Два решения, если a sin α < b < a и α < 90° (окружность пересекает луч BL в двух точках, обе дают треугольник).
Ответ: задача может иметь 0, 1 или 2 решения в зависимости от соотношения между a, b и α.
