Номер / задача 688 страница 171, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Построение треугольника по двум сторонам и высоте, проведённой к третьей стороне.

Решение. Пусть даны два отрезка длиной a и b — стороны треугольника, и отрезок длиной h — высота, проведённая к третьей стороне. Надо построить треугольник ABC, в котором BC = a, AC = b, а высота BH из вершины B на сторону AC (или её продолжение) равна h.

План построения:

1. Проведём прямую m. На ней отложим отрезок AC = b.

2. Проведём прямую n, перпендикулярную прямой m и проходящую через точку A (или через произвольную точку прямой m — но удобнее строить перпендикуляр к m). Однако высота проведена к стороне AC, значит BH ⊥ AC, где H лежит на прямой AC.

3. Построим прямую l, параллельную прямой m и отстоящую от неё на расстояние h. Для этого: восстановим перпендикуляр к прямой m в произвольной точке, отложим на нём отрезок длиной h и через полученную точку проведём прямую, параллельную m. Вершина B лежит на прямой l.

4. Проведём окружность с центром в точке C и радиусом a. Точки пересечения этой окружности с прямой l и будут искомыми положениями вершины B.

Доказательство. Пусть B — точка пересечения окружности с прямой l. Тогда:

• AC = b — по построению;
• BC = a — как радиус окружности с центром C;
• расстояние от точки B до прямой AC равно h, так как B лежит на прямой l, параллельной AC и отстоящей от неё на h.

Следовательно, треугольник ABC — искомый.

Исследование (сколько решений может иметь задача).

Прямая l расположена по одну сторону от m (по другую сторону — симметричная прямая l', дающая равные треугольники). Окружность с центром C радиуса a может пересечь прямую l:

• в двух точках и — если a > h, причём оба треугольника и могут оказаться неравными (например, один остроугольный, другой тупоугольный) — тогда задача имеет два решения;
• в одной точке — если a = h (окружность касается прямой l) — тогда задача имеет одно решение (прямоугольный треугольник с прямым углом при B);
• ни в одной точке — если a < h — тогда задача не имеет решений, поскольку сторона BC не может быть меньше высоты из B.

Также если при двух точках пересечения одна из них совпадает с A или точки A, B, C оказываются на одной прямой, то соответствующий треугольник не образуется.

Ответ: задача может иметь два решения (при a > h), одно решение (при a = h) или не иметь решений (при a < h).