Номер / задача 687 страница 171, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского
Решение. Пусть дан отрезок BH (высота) и два угла α и β, которые эта высота образует со сторонами BA и BC треугольника ABC соответственно (рис. 1). Здесь H — основание высоты, проведённой из вершины B на сторону AC, причём BH ⊥ AC.
Заметим, что ∠ ABH = α, ∠ CBH = β, и тогда ∠ ABC = α + β. Поскольку BH — высота, то ∠ BHA = ∠ BHC = 90°.
Надо построить треугольник ABC, в котором высота BH имеет заданную длину, ∠ ABH = α, ∠ CBH = β.
Построение.
Проведём прямую l и отметим на ней точку H.
Построим прямую, перпендикулярную l в точке H. На этой прямой отложим отрезок BH, равный данному отрезку (высоте).
От луча BH отложим угол, равный α, по одну сторону от BH. Сторона этого угла пересечёт прямую l в точке A.
От луча BH отложим угол, равный β, по другую сторону от BH. Сторона этого угла пересечёт прямую l в точке C.
Треугольник ABC — искомый.
Доказательство.
Рассмотрим построенный треугольник ABC. По построению BH ⊥ AC (так как BH перпендикулярна прямой l, на которой лежат точки A и C), значит BH — высота треугольника ABC. Длина BH равна данному отрезку. Угол ∠ ABH = α и угол ∠ CBH = β — по построению. Следовательно, треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи.
Исследование.
Построение возможно при α < 90° и β < 90° (иначе лучи BA и BC не пересекут прямую l).
Точка A может оказаться по одну сторону от H, а точка C — по другую, причём выбор стороны для откладывания углов α и β приводит к двум симметричным относительно прямой BH треугольникам, которые равны между собой.
Таким образом, задача имеет единственное решение (при α < 90° и β < 90°).
Ответ: задача имеет единственное решение (при условии, что оба данных угла острые).
