Номер / задача 686 страница 171, ГДЗ по геометрии за 7 класс к учебнику Мерзляка, Полонского

Учебник: Вентана-Граф, 2023

Условие: Постройте треугольник по стороне и проведённым из одного и того же конца этой стороны медиане и высоте. Сколько решений может иметь задача?

Решение. Пусть даны отрезки длиной a, m и h, где a — сторона треугольника, m — медиана и h — высота, проведённые из одного и того же конца этой стороны (рис. 1). Надо построить треугольник ABC, в котором BC = a, AM — медиана (M — середина BC), AH — высота (AH ⊥ BC), причём AM = m, AH = h.

Построение.

Проведём прямую и отложим на ней отрезок BC = a.
Найдём середину M отрезка BC (построение середины отрезка с помощью циркуля и линейки — известная задача).
Построим окружность с центром M и радиусом m. Вершина A лежит на этой окружности, так как AM = m.
Построим прямую, перпендикулярную BC, проходящую через некоторую точку H на прямой BC, такую что AH = h. Для этого заметим, что A находится на расстоянии h от прямой BC. Проведём прямую, параллельную BC, на расстоянии h от неё. Это можно сделать так: из точки M восстановим перпендикуляр к BC и отложим на нём отрезок MK = h. Через точку K проведём прямую, параллельную BC.
Точки пересечения окружности с центром M радиуса m и прямой, параллельной BC на расстоянии h, дадут возможные положения вершины A.

Доказательство. Пусть A — точка пересечения окружности (с центром M, радиусом m) и прямой, параллельной BC на расстоянии h. Тогда:

AM = m (точка лежит на окружности), значит AM — медиана длины m;
расстояние от A до прямой BC равно h, значит высота из A на BC равна h;
BC = a по построению.

Следовательно, треугольник ABC — искомый.

Исследование. Прямая, параллельная BC на расстоянии h, может пересекать окружность с центром M радиуса m в двух, одной или ни одной точке.

Задача имеет решение при условии h ≤slant m (расстояние от центра окружности до прямой не превышает радиуса).
Если h < m, прямая (по каждую сторону от BC) пересекает окружность в двух точках, но симметричные относительно BC треугольники считаются одинаковыми (равны). Две точки пересечения на одной стороне от BC дают два различных треугольника, то есть задача может иметь два решения.
Если h = m, прямая касается окружности — одно решение.
Если h > m, пересечений нет — решений нет.

Также необходимо, чтобы полученная точка A не лежала на прямой BC (т.е. h > 0) и чтобы треугольник был невырожденным.

Таким образом, задача может иметь два решения (при h < m), одно решение (при h = m) или не иметь решений (при h > m).

Номер 686